Два заряда q1 = 44 нКл и q2 = 49 нКл расположены на расстоянии 4 дм друг от друга. На расстоянии 5 дм от заряда q1 и 5 дм от заряда q2 отмечена некая точка. Какова будет величина напряжённости электрического поля, создаваемая в этой точке данными зарядами?
Решение и ответ:
Ответ: ≈3070 в виде формулы:3069.337283519
Построим (серым цветом) треугольник ABC в вершинах A и B которого соответственно расположим заряды q1 и q2. Тогда точка, напряжённость электрического поля в которой мы ищем, будет расположена в точке C. Согласно условию задачи, сторона AB = 4 дм, сторона AC = 5 дм, а сторона BC = 5 дм. Используем формулу напряжённости поля E на расстоянии R от заряда q: E =
kq
R2
. Применим её к зарядам q1 и q2 (обязательно переведём при этом все величины в систему СИ): E1 =
kq1
AB2
=
9×109×44×10-9
0,42
≈ 1584
В
м
- напряжённость поля в точке C, создаваемая зарядом q1, E2 =
kq2
BC2
=
9×109×49×10-9
0,52
≈ 1764
В
м
- напряжённость поля в точке C, создаваемая зарядом q2. Если построить (синим цветом) векторы напряжённости на этом треугольнике (вектор напряжённости электрического поля, порождаемый зарядом направлен в сторону заряда, если сам заряд положительный; от заряда - если заряд отрицательный), то можно увидеть, что они расположены друг к другу под углом E1CE2. Таким образом, чтобы подсчитать их сумму, необходимо по правилу параллелограмма достроить (зелёным цветом) вектора напряжённости E1 и E2 до параллелограмма CE1DE2, при этом его диагональ (вектор) CD (красного цвета) будет являться их векторной суммой EΣ, то есть длину этого вектора (отрезка) CD и надо найти в задаче. По свойствам параллелограмма, противоположные стороны равны, поэтому CE1 = E2D ≈ 1584, а CE2 = E1D ≈ 1764. Тогда диагональ CD можно найти как сторону треугольника CDE1. Используем для этого теорему косинусов: CD2 = CE12 + E1D2 - 2×CE1×E1D×cos(∠CE1D). По рисунку видим, что ∠CE1D и ∠E1СE2 - внутренние односторонние в параллелограмме, поэтому их сумма равна 180°, откуда ∠E1СE2 = 180° - ∠CE1D, при этом∠E1СE2 является вертикальным к ∠AСB, то есть ∠E1СE2 = ∠AСB, таким образом ∠ACB = 180° - ∠CE1D. Применим теорему косинусов для треугольника ABC: AB2 = BC2 + AC2 - 2×AC×BC×cos(∠ACB), откуда: cos(∠ACB) =
BC2 + AC2 - AB2
2×AC×BC
=
0,52 + 0,52 - 0,42
2×0,5×0,5
≈ 0,68. Тогда, можно представить cos(∠ACB) = cos(180° - ∠CE1D) = -cos(∠CE1D), откуда: cos(∠CE1D) = -0,68. Подставим это значение в формулу для стороны CD: CD2 = 15842 + 17642 - 2×1584×1764×(-0,68) ≈ 9424900. Откуда, наконец, получаем ответ: EΣ = CD ≈ 3070.
Решения этой задачи от наших учеников:
(Не оценено) Комментарий к решению: Ученик выводит значение косинуса угла по теореме косинусов, используя данные исходного треугольника зарядов (4, 5 и 5 дм), однако затем, при рассчёте суммарной напряжённости не указывает, почему вместо косинуса угла из треугольника напряжённостей использует косинус угла исходного треугольника со знаком минус. Верный ответ, в решении есть пропуски.
