Можно заметить, что левая функция сокращается на x + 9, в результате сокращения получается: y = (x - 3)(x + 4).
При этом надо запомнить, что значение x = -9 является недопустимым, потому что в исходном выражении для левой функции это бы приводило к делению на ноль. То есть необходимо дополнить данную функцию условием, что x ≠ -9.
Две функции имеют общее решение, когда значения переменных x и y у них одинаковые. Таким образом их можно приравнять:
(x - 3)(x + 4) = kx - 13.
Преобразуем: x2 + x - 12 - kx + 13 = 0,
затем x2 +x×(1 - k) + 1 = 0.
Это квадратное уравнение, надём дискриминант: D = (1 - k)2 - 4×1×1 = k2 - 2k - 3.
Если полученное значение дискриминанта будет отрицательным, то не удастся подсчитать корни, это будет означать, что две исходные функции не имеют общего решения.
Если полученное значение дискриминанта будет положительным, то у данного уравнения будет два корня, это будет означать, что две исходные функции имеют два общих для них решения.
Если полученное значение дискриминанта будет равно нулю, то у данного уравнения будет единственное значение x, при котором это уравнение становится верным, а это будет означать, что две исходные функции имеют единственное общее решение, что и требуется найти в этой задаче.
Таким образом: k2 - 2k - 3 = 0, откуда можно найти значения k1 = 3 и k2 = -1.
При преобразовании левой функции в квадратичное выражение, мы сделали указание, что x ≠ -9. Если подобрать такое значение k, чтобы один из корней x был равен этому числу, тогда не смотря на то, что у уравнения x2 +x×(1 - k) + 1 = 0 будет два корня, один из них "выпадающий", то есть не будет является частью решения, а второй корень будет.
Подставим x = -9 в уравнение, получим: (-9)2 - 9×(1 - k) + 1 = 0.
Откуда k3 = -

73

9

.
У этих двух функций есть графики: парабола и прямая, с изменяющимся, в зависимости от значения k, углом наклона. При k1 = 3 и k2 = -1 прямые (на рисунке - зелёная и синяя) касаются параболы (в красных точках), а при k3 = -

73

9

(красная) прямая пересекает параболу через "выпадающую" точку (обозначено белым) и обычную точку (обозначено голубым), имея тем самым единственную точку пересечения.