Разложим по Теореме Виета квадратичное выражение в левой функции: y =

(x - 5)(x3 - 2x2 - 81x + 162)

(x + 9)(x - 9)

.
Разделим столбиком кубический многочлен x3 - 2x2 - 81x + 162 на x + 9.
В результате деления получается: y =

(x - 5)(x2 - 11x + 18)

x - 9

.
При этом надо запомнить, что значение x = -9 является недопустимым, потому что в исходном выражении для левой функции это бы приводило к делению на ноль. То есть необходимо дополнить данную функцию условием, что x ≠ -9.
Ещё раз применим Теорему Виета для квадратичного выражение в полученном выражении для левой функции: y =

(x - 5)(x - 2)(x - 9)

x - 9

.
Можно заметить, что теперь эта функция сокращается на x - 9, в результате сокращения получается: y = (x - 5)(x - 2).
При этом, так же, x ≠ 9, чтобы в оригинальной функции не было деления на ноль.
Две функции имеют общее решение, когда значения переменных x и y у них одинаковые. Таким образом их можно приравнять:
(x - 5)(x - 2)= kx + 9.
Преобразуем: x2 - 7x + 10 - kx - 9 = 0,
затем x2 +x×(-7 - k) + 1 = 0.
Это квадратное уравнение, надём дискриминант: D = (-7 - k)2 - 4×1×1 = k2 + 14k + 45.
Если полученное значение дискриминанта будет отрицательным, то не удастся подсчитать корни, это будет означать, что две исходные функции не имеют общего решения.
Если полученное значение дискриминанта будет положительным, то у данного уравнения будет два корня, это будет означать, что две исходные функции имеют два общих для них решения.
Если полученное значение дискриминанта будет равно нулю, то у данного уравнения будет единственное значение x, при котором это уравнение становится верным, а это будет означать, что две исходные функции имеют единственное общее решение, что и требуется найти в этой задаче.
Таким образом: k2 + 14k + 45 = 0, откуда можно найти значения k1 = -5 и k2 = -9.
При преобразовании левой функции в квадратичное выражение, мы сделали указание, что x ≠ -9. Если подобрать такое значение k, чтобы один из корней x был равен этому числу, тогда не смотря на то, что у уравнения x2 +x×(-7 - k) + 1 = 0 будет два корня, один из них "выпадающий", то есть не будет является частью решения, а второй корень будет.
Подставим x = -9 в уравнение, получим: (-9)2 - 9×(-7 - k) + 1 = 0.
Откуда k3 = -

145

9

.
Аналогично, подставим второе "выпадающее" значение x = 9 в уравнение, получим: 92 + 9×(-7 - k) + 1 = 0.
Откуда k4 =

19

9

.
У этих двух функций есть графики: парабола и прямая, с изменяющимся, в зависимости от значения k, углом наклона. При k1 = -5 и k2 = -9 прямые (на рисунке - зелёная и синяя) касаются параболы (в красных точках), а при k3 = -

145

9

и k4 =

19

9

(красная и чёрная) прямые пересекают параболу через "выпадающие" точки (обозначены белым) и обычные точки (обозначено голубым), имея тем самым единственную точку пересечения.