Разложим по Теореме Виета квадратичное выражение в левой функции: y =

x4 - 4x3 - 62x2 - 30x + 189

(x - 9)(x + 1)

.
Разделим столбиком многочлен x4 - 4x3 - 62x2 - 30x + 189 на x - 9.
В результате деления получается: y =

x3 + 5x - 17x - 21

x + 1

.
При этом надо запомнить, что значение x = 9 является недопустимым, потому что в исходном выражении для левой функции это бы приводило к делению на ноль. То есть необходимо дополнить данную функцию условием, что x ≠ 9.
Ещё раз разделим x3 + 5x - 17x - 21 на x + 1.
В результате деления получается: y = x2 + 4x - 21.
При этом, так же, x ≠ -1, чтобы в оригинальной функции не было деления на ноль.
Две функции имеют общее решение, когда значения переменных x и y у них одинаковые. Таким образом их можно приравнять:
x2 + 4x - 21 = kx - 30.
Преобразуем: x2 + 4x - 21 - kx + 30 = 0,
затем x2 +x×(4 - k) + 9 = 0.
Это квадратное уравнение, надём дискриминант: D = (4 - k)2 - 4×1×9 = k2 - 8k - 20.
Если полученное значение дискриминанта будет отрицательным, то не удастся подсчитать корни, это будет означать, что две исходные функции не имеют общего решения.
Если полученное значение дискриминанта будет положительным, то у данного уравнения будет два корня, это будет означать, что две исходные функции имеют два общих для них решения.
Если полученное значение дискриминанта будет равно нулю, то у данного уравнения будет единственное значение x, при котором это уравнение становится верным, а это будет означать, что две исходные функции имеют единственное общее решение, что и требуется найти в этой задаче.
Таким образом: k2 - 8k - 20 = 0, откуда можно найти значения k1 = 10 и k2 = -2.
При преобразовании левой функции в квадратичное выражение, мы сделали указание, что x ≠ 9. Если подобрать такое значение k, чтобы один из корней x был равен этому числу, тогда не смотря на то, что у уравнения x2 +x×(4 - k) + 9 = 0 будет два корня, один из них "выпадающий", то есть не будет является частью решения, а второй корень будет.
Подставим x = 9 в уравнение, получим: 92 + 9×(4 - k) + 9 = 0.
Откуда k3 = 14.
Аналогично, подставим второе "выпадающее" значение x = -1 в уравнение, получим: (-1)2 - 1×(4 - k) + 9 = 0.
Откуда k4 = -6.
У этих двух функций есть графики: парабола и прямая, с изменяющимся, в зависимости от значения k, углом наклона. При k1 = 10 и k2 = -2 прямые (на рисунке - зелёная и синяя) касаются параболы (в красных точках), а при k3 = 14 и k4 = -6 (красная и чёрная) прямые пересекают параболу через "выпадающие" точки (обозначены белым) и обычные точки (обозначено голубым), имея тем самым единственную точку пересечения.