Можно заметить, что левая функция сокращается на x2 - 2x - 8, в результате сокращения получается: y = x2 - 6x - 7.
При этом надо указать, что значение выражения x2 - 2x - 8 не должно быть равно нулю, потому что в исходном выражении для левой функции это бы приводило к делению на ноль. Можно найти корни этого выражения, после чего дополнить данную функцию условием, что x ≠ 4 и x ≠ -2.
Две функции имеют общее решение, когда значения переменных x и y у них одинаковые. Таким образом их можно приравнять:
x2 - 6x - 7 = kx - 71.
Преобразуем: x2 - 6x - 7 - kx + 71 = 0,
затем x2 +x×(-6 - k) + 64 = 0.
Это квадратное уравнение, надём дискриминант: D = (-6 - k)2 - 4×1×64 = k2 + 12k - 220.
Если полученное значение дискриминанта будет отрицательным, то не удастся подсчитать корни, это будет означать, что две исходные функции не имеют общего решения.
Если полученное значение дискриминанта будет положительным, то у данного уравнения будет два корня, это будет означать, что две исходные функции имеют два общих для них решения.
Если полученное значение дискриминанта будет равно нулю, то у данного уравнения будет единственное значение x, при котором это уравнение становится верным, а это будет означать, что две исходные функции имеют единственное общее решение, что и требуется найти в этой задаче.
Таким образом: k2 + 12k - 220 = 0, откуда можно найти значения k1 = 10 и k2 = -22.
При преобразовании левой функции в квадратичное выражение, мы сделали указание, что x ≠ 4. Если подобрать такое значение k, чтобы один из корней x был равен этому числу, тогда не смотря на то, что у уравнения x2 +x×(-6 - k) + 64 = 0 будет два корня, один из них "выпадающий", то есть не будет является частью решения, а второй корень будет.
Подставим x = 4 в уравнение, получим: 42 + 4×(-6 - k) + 64 = 0.
Откуда k3 = 14.
Аналогично, подставим второе "выпадающее" значение x = -2 в уравнение, получим: (-2)2 - 2×(-6 - k) + 64 = 0.
Откуда k4 = -40.
У этих двух функций есть графики: парабола и прямая, с изменяющимся, в зависимости от значения k, углом наклона. При k1 = 10 и k2 = -22 прямые (на рисунке - зелёная и синяя) касаются параболы (в красных точках), а при k3 = 14 и k4 = -40 (красная и чёрная) прямые пересекают параболу через "выпадающие" точки (обозначены белым) и обычные точки (обозначено голубым), имея тем самым единственную точку пересечения.