Попробуем разложить на множители знаменатели дробей, получим:

15

(x - 3)×(x + 4)

-

81

(x + 4)×(x - 5)

+

18

(x - 3)×(x - 5)

> -6.
Теперь видно, что все дроби имеют похожие множители в знаменателях - приведём к общему знаменателю только их, без свободного члена - если сразу всё привести к общему знаменателю, получится многочлен третьей степени, постараемся этого избежать:

15(x - 5) - 81(x - 3) + 18(x + 4)

(x - 3)×(x + 4)×(x - 5)

> -6.
Откуда:

15x - 75 - 81x + 243 + 18x + 72

(x - 3)×(x + 4)×(x - 5)

> -6.
Упростим:

-48x + 240

(x - 3)×(x + 4)×(x - 5)

> -6.
Вынесем за скобки -48:

-48(x - 5)

(x - 3)×(x + 4)×(x - 5)

> -6.
Можно сократить на (x - 5):
-

48

(x - 3)(x + 4)

> -6 - запомнив, при этом, что в исходном (несокращённом) примере было деление на (x - 5), которое могло быть равно нулю, поэтому x ≠ 5. Действительно, действия с дробями привели к упрощению, так как теперь при занесении свободного члена будет максимум вторая степень полученного в числителе выражения.
Теперь переносим свободный член - для того, чтобы решить неравенство, его надо сравнивать с нулём:
-

48

(x - 3)(x + 4)

+ 6 > 0.
Приводим к общему знаменателю:
-

48

(x - 3)(x + 4)

+

6(x - 3) (x + 4)

(x - 3)(x + 4)

> 0.
Теперь с дробями можно выполнить действие:

-48 + 6(x - 3) (x + 4)

(x - 3)(x + 4)

> 0.
Раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые:

6x2 + 6x - 120

(x - 3)(x + 4)

> 0.
Поделим неравенство на 6 (так как оно положительное, меняем неравенство оставляем неизменным).

x2 + x - 20

(x - 3)(x + 4)

> 0.
Разложим на множители числитель:

(x + 5)(x - 4)

(x - 3)(x + 4)

> 0.
Такого вида неравенства решаются методом интервалов. Для этого заполним числовую ось, отметив на ней области знакопостоянства, отделяемые друг от друга корнями: x1 = -5, x2 = 4, x3 = -4, x4 = 3.
Все точки будут выколотые, потому что неравенство - строгое.
Построим числовую ось, определим знаки интервалов:
x∈(-∞;-5)∪(-4;3)∪(4;+∞).
Теперь учтём, что x ≠ 5, тогда получаем ответ:
x∈(-∞;-5)∪(-4;3)∪(4;5)∪(5;+∞).