Обозначим a - меньший из катетов треугольника, b - больший из них, c - гипотенуза. Периметр треугольника P = a + b + c. Тогда P - c = a + b = 18 - c.
Возведём это уравнение в квадрат (a + b)2 = (18 - c)2. Раскрытие квадрата сделаем через формулы сокращённого умножения:
a2 + 2ab + b2 = 324 - 36c + c2.
По теореме Пифагора, a2 + b2 = c2.
Вычтем из верхнего уравнения нижнее: a2 + 2ab + b2 - a2 - b2 = 324 - 36c + c2 - c2.
Приведём подобные слагаемые, получим: 2ab = 324 - 36c.
В задаче ещё дана площадь треугольника, можно её найти как половинное произведение катетов: S =

1

2

ab = 9.
Умножим её на 4: 4S = 2ab = 4×9 = 36. Таким образом, величину 2ab можно заменить в предыдущем уравнении:
36 = 324 - 36c - это линейное уравнение можно решить и найти гипотенузу c = 8, что и является ответом.