Обозначим a - меньший из катетов треугольника, b - больший из них, c - гипотенуза. Периметр треугольника P = a + b + c. Тогда P - c = a + b = 42 - c.
Возведём это уравнение в квадрат (a + b)2 = (42 - c)2. Раскрытие квадрата сделаем через формулы сокращённого умножения:
a2 + 2ab + b2 = 1764 - 84c + c2.
По теореме Пифагора, a2 + b2 = c2.
Вычтем из верхнего уравнения нижнее: a2 + 2ab + b2 - a2 - b2 = 1764 - 84c + c2 - c2.
Приведём подобные слагаемые, получим: 2ab = 1764 - 84c.
В задаче ещё дана площадь треугольника, можно её найти как половинное произведение катетов: S =

1

2

ab = 21.
Умножим её на 4: 4S = 2ab = 4×21 = 84. Таким образом, величину 2ab можно заменить в предыдущем уравнении:
84 = 1764 - 84c - это линейное уравнение можно решить и найти гипотенузу c = 20.
Теперь, зная периметр и гипотенузу, можно найти сумму сторон a и b: a + b = P - c = 42 - 20 = 22. Выразим отсюда a = 22 - b.
Ещё раз воспользуемся площадью треугольника: S =

1

2

ab = 21, откуда 2S = ab = 42.
Подставим в эту формулу выражение для a: (22 - b)×b = 42.
Раскроем скобки: 22b - b2 = 42.
Приведём его в каноническую форму: b2 - 22b + 42 = 0. Решим его через дискриминант (D = 316 - не берётся нацело).
Теперь можно подсчитать (сократив) b1 = 11 +

79

(и соответствующее ему a1 = 11 -

79

),
и b2 = 11 -

79

(и соответствующее ему a2 = 11 +

79

).
Можно увидеть, что не смотря на различие b1 и b2, пара корней получается одинаковая.
В задаче спрашивается меньший из катетов, тогда ответ: a = 11 -

79

.