Обозначим a - меньший из катетов треугольника, b - больший из них, c - гипотенуза. По теореме Пифагора, a2 + b2 = c2 = 192 = 361.
Дана площадь треугольника, можно её найти как половинное произведение катетов: S =

1

2

ab = 30,75.
Умножим последнее на 4: 4S = 2ab = 4×30,75 = 123. Сложим эти два уравнения:
a2 + b2 + 2ab = 361 + 123 = 484.
В этом выражении видна формула сокращённого умножения - в этом была цель получения 2ab, представим её так:
(a+b)2 = 484 = 222, откуда a + b = ±22.
Так как сумма катетов, очевидно, не может быть отрицательной, то выберем только положительное значение: a + b = 22.
Отсюда можно получить: a = 22 - b. Теперь это можно подставить в уравнение из теоремы Пифагора: (22 - b)2 + b2 = 361.
Раскроем скобки, получаем: 484 - 44b + b2 + b2 = 361 - это квадратное уравнение.
Приведём его в каноническую форму: 2b2 - 44b + 123 = 0. Решим его через дискриминант (D = 952 - не берётся нацело).
Теперь можно подсчитать (сократив) b1 = 11 +

59,5

(и соответствующее ему a1 = 11 -

59,5

),
и b2 = 11 -

59,5

(и соответствующее ему a2 = 11 +

59,5

).
Можно увидеть, что не смотря на различие b1 и b2, пара корней получается одинаковая.
В задаче спрашивается больший из катетов, тогда ответ: b = 11 +

59,5

.