Решение задач

Задача № 14899

Наполенон Банепар взял в кредит в банке 2500000 руб на срок 53 месяца. Условия кредитования при этом следующие:

проценты по кредиту начисляются каждый месяц,

ежемесячная процентная ставка a фиксирована в течение всего периода кредитования,

после начисления процентов надо сделать очередной платёж,

платежи подбираются таким образом, чтобы сумма основного долга в течение всего срока уменьшалась на одинаковую величину.

Какова была ставка кредита a, если Наполенон Банепар в итоге заплатил банку 7225000 руб?

Решение и ответ:

Ответ: 7

Так как в задаче указано, что сумма основного долга уменьшается равномерно и платежи разные, такой тип кредитования называется дифференцированный.
Составим схему выплат. Для этого обозначим r =
a
100%
. На сумму кредита S набежали проценты rS, Наполенон Банепар должен отдать одним платежом и проценты rS и часть основного долга S
53
:
Первый месяц: S + rS - rS -
S
53
=
52S
53
.
Второй месяц: 52S
53
+
52rS
53
-
52rS
53
-
S
53
=
51S
53
.
....
52-й месяц: 2S
53
+
2rS
53
-
2rS
53
-
S
53
=
S
53
.
53-й месяц: S
53
+
rS
53
-
rS
53
-
S
53
= 0 - кредит закрыт.
Выпишем все платежи:
(rS +
S
53
) + (
52rS
53
+
S
53
) + ... + (
2rS
53
+
S
53
) + (
rS
53
+
S
53
) = SΣ - сумма всех выплат в банк, которые сделал Наполенон Банепар.
Перегруппируем их: SΣ = (rS +
52rS
53
+ ... +
2rS
53
+
rS
53
) + (
S
53
+
S
53
+ ... +
S
53
+
S
53
).
В левой скобочке вынесем rS
53
, а правая скобочка - содержит 53 одинаковых элементов:
SΣ =
rS
53
×(53 + 52 + ... + 2 + 1) + 53×
S
53
.
В левой скобочке - арифметическая прогрессия, её можно подсчитать как сумму крайних членов, делённую на два и умноженную на их количество:
SΣ =
rS
53
×(
53 + 1
2
×53) + S.
Откуда: SΣ = rS×
53 + 1
2
+ S = 27rS + S.
Преобразуем: SΣ = S(27r + 1), откуда 27r + 1 =
SΣ
S
=
7225000
2500000
= 2,89,
после чего r =
2,89 - 1
27
= 0,07.
Теперь можно найти ответ: a = r×100 = 0,07×100 = 7%.

Нашли ошибку? Сообщите нам!
Не хватает табличных данных? Посмотрите в справочнике!

Тема: Финансовая математика.