Задачи для самостоятельной подготовки "УчУ"



Задача № 14900

Рабинович взял в кредит в банке 1500000 руб на срок 67 месяцев. Условия кредитования при этом следующие:

  • проценты по кредиту начисляются каждый месяц,
  • ежемесячная процентная ставка a фиксирована в течение всего периода кредитования,
  • после начисления процентов надо сделать очередной платёж,
  • платежи подбираются таким образом, чтобы сумма основного долга в течение всего срока уменьшалась на одинаковую величину.

    • Какова была ставка кредита a, если Рабинович в итоге переплатил сверх стоимости кредита 2550000 руб?


    Решение и ответ:
    Ответ: 5

    Так как в задаче указано, что сумма основного долга уменьшается равномерно и платежи разные, такой тип кредитования называется дифференцированный.
    Составим схему выплат. Для этого обозначим r =
    a
    100%
    . На сумму кредита S набежали проценты rS, Рабинович должен отдать одним платежом и проценты rS и часть основного долга
    S
    67
    :
    Первый месяц: S + rS - rS -
    S
    67
    =
    66S
    67
    .
    Второй месяц:
    66S
    67
    +
    66rS
    67
    -
    66rS
    67
    -
    S
    67
    =
    65S
    67
    .
    ....
    66-й месяц:
    2S
    67
    +
    2rS
    67
    -
    2rS
    67
    -
    S
    67
    =
    S
    67
    .
    67-й месяц:
    S
    67
    +
    rS
    67
    -
    rS
    67
    -
    S
    67
    = 0     - кредит закрыт.
    Выпишем все платежи:
    (rS +
    S
    67
    ) + (
    66rS
    67
    +
    S
    67
    ) + ... + (
    2rS
    67
    +
    S
    67
    ) + (
    rS
    67
    +
    S
    67
    ) = SΣ     - сумма всех выплат в банк, которые сделал Рабинович.
    Перегруппируем их: SΣ = (rS +
    66rS
    67
    + ... +
    2rS
    67
    +
    rS
    67
    ) + (
    S
    67
    +
    S
    67
    + ... +
    S
    67
    +
    S
    67
    )    .
    В левой скобочке вынесем
    rS
    67
    , а правая скобочка - содержит 67 одинаковых элементов:
    SΣ =
    rS
    67
    ×(67 + 66 + ... + 2 + 1) + 67×
    S
    67
    .
    В левой скобочке - арифметическая прогрессия, её можно подсчитать как сумму крайних членов, делённую на два и умноженную на их количество:
    SΣ =
    rS
    67
    ×(
    67 + 1
    2
    ×67) + S    .
    Откуда: SΣ = rS×
    67 + 1
    2
    + S = 34rS + S    .
    Можно увидеть, что сумма всех выплат SΣ состоит из суммы кредита S, которую надо вернуть банку, и процентов за пользование кредитом ΔS = 34rS.
    Преобразуем: r =
    ΔS
    S×34
    =
    2550000
    1500000×34
    = 0,05    ,
    Откуда: a = r×100 = 0,05×100 = 5%.

    Похожие задачи: 14913.
    Нашли ошибку? Сообщите нам!
    Не хватает табличных данных? Посмотрите в справочнике!

    Тема: Финансовая математика.