Так как в задаче указано, что сумма основного долга уменьшается равномерно и платежи разные, такой тип кредитования называется дифференцированный.
Составим схему выплат. Для этого обозначим r =

a

100%

=

3

100

= 0,03. На сумму кредита S набежали проценты rS, Нафаня должен отдать одним платежом и проценты rS и часть основного долга

S

n

:
Первый месяц: S + rS - rS -

S

n

=

(n-1)S

n

.
Второй месяц:

(n-1)S

n

+

(n-1)rS

n

-

(n-1)S

n

-

S

n

=

(n-2)S

n

.
Третий месяц:

(n-2)S

n

+

(n-2)rS

n

-

(n-2)S

n

-

S

n

=

(n-3)S

n

.
....
(n-2)-й месяц:

3S

n

+

3rS

n

-

3rS

n

-

S

n

=

2S

n

.
(n-1)-й месяц:

2S

n

+

2rS

n

-

2rS

n

-

S

n

=

S

n

.
n-й месяц:

S

n

+

rS

n

-

rS

n

-

S

n

= 0 - кредит закрыт.
Выпишем все платежи:
(rS +

S

n

) + (

(n-1)rS

n

+

S

n

) + (

(n-2)rS

n

+

S

n

) +... + (

3rS

n

+

S

n

) + (

2rS

n

+

S

n

) + (

rS

n

+

S

n

) = SΣ - сумма всех выплат в банк, которые сделал Нафаня.
Перегруппируем их: SΣ = (rS +

(n-1)rS

n

+

(n-2)rS

n

+ ... +

3rS

n

+

2rS

n

+

rS

n

) + (

S

n

+

S

n

+ ... +

S

n

).
В левой скобочке вынесем

rS

n

, а правая скобочка - содержит n одинаковых элементов (количество периодов и количество платежей):
SΣ =

rS

n

×(n + (n-1) + (n-2) + ... + 3 + 2 + 1) + n×

S

n

.
В левой скобочке - арифметическая прогрессия, её можно подсчитать как сумму крайних членов, делённую на два и умноженную на их количество:
SΣ =

rS

n

×(

n + 1

2

×n) + S.
Откуда: SΣ = rS×

n + 1

2

+ S =

0,03

2

×(n+1)S + S = 0,015(n+1)S + S.
Преобразуем: SΣ = S(0,015(n+1) + 1), откуда: 0,015(n+1) + 1 =

SΣ

S

=

439500

300000

= 1,465.
Тогда: n+1 =

1,465 - 1

0,015

= 31.
То есть кредит был взят на n = 30 месяцев.