Решение задач

Задача № 14903

Акакий Акакиевич взял в банке кредит некоторую сумму S руб на срок 16 месяцев. Условия кредитования при этом следующие:

проценты по кредиту начисляются каждый месяц,

ежемесячная процентная ставка фиксирована и равняется a = 4%,

после начисления процентов надо сделать очередной платёж,

платежи подбираются таким образом, чтобы сумма основного долга в течение всего срока уменьшалась на одинаковую величину.

Какую сумму взял в кредит Акакий Акакиевич, если он в итоге заплатил банку 1608000 руб?

Решение и ответ:

Ответ: 1200000

Так как в задаче указано, что сумма основного долга уменьшается равномерно и платежи разные, такой тип кредитования называется дифференцированный.
Составим схему выплат. Для этого обозначим r =
a
100%
=
4
100
= 0,04. На сумму кредита S набежали проценты rS, Акакий Акакиевич должен отдать одним платежом и проценты rS и часть основного долга S
16
:
Первый месяц: S + rS - rS -
S
16
=
15S
16
.
Второй месяц: 15S
16
+
15rS
16
-
15rS
16
-
S
16
=
14S
16
.
....
15-й месяц: 2S
16
+
2rS
16
-
2rS
16
-
S
16
=
S
16
.
16-й месяц: S
16
+
rS
16
-
rS
16
-
S
16
= 0 - кредит закрыт.
Выпишем все платежи:
(rS +
S
16
) + (
15rS
16
+
S
16
) + ... + (
2rS
16
+
S
16
) + (
rS
16
+
S
16
) = SΣ - сумма всех выплат в банк, которые сделал Акакий Акакиевич.
Перегруппируем их: SΣ = (rS +
15rS
16
+ ... +
2rS
16
+
rS
16
) + (
S
16
+
S
16
+ ... +
S
16
+
S
16
).
В левой скобочке вынесем rS
16
, а правая скобочка - содержит 16 одинаковых элементов:
SΣ =
rS
16
×(16 + 15 + ... + 2 + 1) + 16×
S
16
.
В левой скобочке - арифметическая прогрессия, её можно подсчитать как сумму крайних членов, делённую на два и умноженную на их количество:
SΣ =
rS
16
×(
16 + 1
2
×16) + S.
Откуда: SΣ = rS×
16 + 1
2
+ S = 8,5rS + S.
Преобразуем: SΣ = S(8,5r + 1),
откуда: S =
SΣ
8,5r + 1
=
1608000
8,5×0,04 + 1
= 1200000 руб.

Нашли ошибку? Сообщите нам!
Не хватает табличных данных? Посмотрите в справочнике!

Тема: Финансовая математика.