Задачи для самостоятельной подготовки "УчУ"



Задача № 14904

Понтий Пилат взял в банке кредит некоторую сумму S руб на срок 55 месяцев. Условия кредитования при этом следующие:

  • проценты по кредиту начисляются каждый месяц,
  • ежемесячная процентная ставка фиксирована и равняется a = 5%,
  • после начисления процентов надо сделать очередной платёж,
  • платежи подбираются таким образом, чтобы сумма основного долга в течение всего срока уменьшалась на одинаковую величину.

    • Какую сумму взял в кредит Понтий Пилат, если он в итоге переплатил сверх стоимости кредита 420000 руб?


    Решение и ответ:
    Ответ: 300000

    Так как в задаче указано, что сумма основного долга уменьшается равномерно и платежи разные, такой тип кредитования называется дифференцированный.
    Составим схему выплат. Для этого обозначим r =
    a
    100%
    =
    5
    100
    = 0,05    . На сумму кредита S набежали проценты rS, Понтий Пилат должен отдать одним платежом и проценты rS и часть основного долга
    S
    55
    :
    Первый месяц: S + rS - rS -
    S
    55
    =
    54S
    55
    .
    Второй месяц:
    54S
    55
    +
    54rS
    55
    -
    54rS
    55
    -
    S
    55
    =
    53S
    55
    .
    ....
    54-й месяц:
    2S
    55
    +
    2rS
    55
    -
    2rS
    55
    -
    S
    55
    =
    S
    55
    .
    55-й месяц:
    S
    55
    +
    rS
    55
    -
    rS
    55
    -
    S
    55
    = 0     - кредит закрыт.
    Выпишем все платежи:
    (rS +
    S
    55
    ) + (
    54rS
    55
    +
    S
    55
    ) + ... + (
    2rS
    55
    +
    S
    55
    ) + (
    rS
    55
    +
    S
    55
    ) = SΣ     - сумма всех выплат в банк, которые сделал Понтий Пилат.
    Перегруппируем их: SΣ = (rS +
    54rS
    55
    + ... +
    2rS
    55
    +
    rS
    55
    ) + (
    S
    55
    +
    S
    55
    + ... +
    S
    55
    +
    S
    55
    )    .
    В левой скобочке вынесем
    rS
    55
    , а правая скобочка - содержит 55 одинаковых элементов:
    SΣ =
    rS
    55
    ×(55 + 54 + ... + 2 + 1) + 55×
    S
    55
    .
    В левой скобочке - арифметическая прогрессия, её можно подсчитать как сумму крайних членов, делённую на два и умноженную на их количество:
    SΣ =
    rS
    55
    ×(
    55 + 1
    2
    ×55) + S    .
    Откуда: SΣ = rS×
    55 + 1
    2
    + S = 28rS + S    .
    Можно увидеть, что сумма всех выплат SΣ состоит из суммы кредита S, которую надо вернуть банку, и процентов за пользование кредитом ΔS = 28rS.
    Преобразуем: S =
    ΔS
    28r
    =
    420000
    28×0,05
    = 300000 руб    .

    Нашли ошибку? Сообщите нам!
    Не хватает табличных данных? Посмотрите в справочнике!

    Тема: Финансовая математика.