Задачи для самостоятельной подготовки "УчУ"



Задача № 14906

Понтий Пилат взял в банке кредит некоторую сумму S руб на срок 33 месяца. Условия кредитования при этом следующие:

  • проценты по кредиту начисляются каждый месяц,
  • ежемесячная процентная ставка фиксирована и равняется a = 3%,
  • после начисления процентов надо сделать очередной платёж,
  • платежи подбираются таким образом, чтобы сумма основного долга в течение всего срока уменьшалась на одинаковую величину.

    • Сколько % от взятой суммы в кредит заплатит в итоге Понтий Пилат? Сколько % от стоимости кредита будет переплата за пользование кредитом?


    Решение и ответ:
    Ответы: 51;151

    Так как в задаче указано, что сумма основного долга уменьшается равномерно и платежи разные, такой тип кредитования называется дифференцированный.
    Составим схему выплат. Для этого обозначим r =
    a
    100%
    =
    3
    100
    = 0,03    . На сумму кредита S набежали проценты rS, Понтий Пилат должен отдать одним платежом и проценты rS и часть основного долга
    S
    33
    :
    Первый месяц: S + rS - rS -
    S
    33
    =
    32S
    33
    .
    Второй месяц:
    32S
    33
    +
    32rS
    33
    -
    32rS
    33
    -
    S
    33
    =
    31S
    33
    .
    ....
    32-й месяц:
    2S
    33
    +
    2rS
    33
    -
    2rS
    33
    -
    S
    33
    =
    S
    33
    .
    33-й месяц:
    S
    33
    +
    rS
    33
    -
    rS
    33
    -
    S
    33
    = 0     - кредит закрыт.
    Выпишем все платежи:
    (rS +
    S
    33
    ) + (
    32rS
    33
    +
    S
    33
    ) + ... + (
    2rS
    33
    +
    S
    33
    ) + (
    rS
    33
    +
    S
    33
    ) = SΣ     - сумма всех выплат в банк, которые сделал Понтий Пилат.
    Перегруппируем их: SΣ = (rS +
    32rS
    33
    + ... +
    2rS
    33
    +
    rS
    33
    ) + (
    S
    33
    +
    S
    33
    + ... +
    S
    33
    +
    S
    33
    )    .
    В левой скобочке вынесем
    rS
    33
    , а правая скобочка - содержит 33 одинаковых элементов:
    SΣ =
    rS
    33
    ×(33 + 32 + ... + 2 + 1) + 33×
    S
    33
    .
    В левой скобочке - арифметическая прогрессия, её можно подсчитать как сумму крайних членов, делённую на два и умноженную на их количество:
    SΣ =
    rS
    33
    ×(
    33 + 1
    2
    ×33) + S    .
    Откуда: SΣ = rS×
    33 + 1
    2
    + S = 17rS + S    .
    Можно увидеть, что сумма всех выплат SΣ состоит из суммы кредита S, которую надо вернуть банку, и процентов за пользование кредитом ΔS = 17rS.
    Таким образом, переплата
    ΔS
    S
    ×100% = 17×0,03×100% = 51%    , а сумма всех выплат 100% + 51% = 151% от суммы кредита.

    Похожие задачи: 14905.
    Нашли ошибку? Сообщите нам!
    Не хватает табличных данных? Посмотрите в справочнике!

    Тема: Финансовая математика.