Задачи для самостоятельной подготовки "УчУ"



Задача № 14907

Пётр взял в банке кредит некоторую сумму S руб на некоторый срок n месяцев. Условия кредитования при этом следующие:

  • проценты по кредиту начисляются каждый месяц,
  • ежемесячная процентная ставка фиксирована и равняется a = 3%,
  • после начисления процентов надо сделать очередной платёж,
  • платежи подбираются таким образом, чтобы сумма основного долга в течение всего срока уменьшалась на одинаковую величину.

    • На сколько месяцев взял кредит Пётр, если в итоге переплатил (то есть заплатил сверх величины самого кредита) банку 70,5% от суммы, взятой в кредит?


    Решение и ответ:
    Ответ: 46

    Так как в задаче указано, что сумма основного долга уменьшается равномерно и платежи разные, такой тип кредитования называется дифференцированный.
    Составим схему выплат. Для этого обозначим r =
    a
    100%
    =
    3
    100
    = 0,03    . На сумму кредита S набежали проценты rS, Пётр должен отдать одним платежом и проценты rS и часть основного долга
    S
    n
    :
    Первый месяц: S + rS - rS -
    S
    n
    =
    (n-1)S
    n
    .
    Второй месяц:
    (n-1)S
    n
    +
    (n-1)rS
    n
    -
    (n-1)S
    n
    -
    S
    n
    =
    (n-2)S
    n
    .
    Третий месяц:
    (n-2)S
    n
    +
    (n-2)rS
    n
    -
    (n-2)S
    n
    -
    S
    n
    =
    (n-3)S
    n
    .
    ....
    (n-2)-й месяц:
    3S
    n
    +
    3rS
    n
    -
    3rS
    n
    -
    S
    n
    =
    2S
    n
    .
    (n-1)-й месяц:
    2S
    n
    +
    2rS
    n
    -
    2rS
    n
    -
    S
    n
    =
    S
    n
    .
    n-й месяц:
    S
    n
    +
    rS
    n
    -
    rS
    n
    -
    S
    n
    = 0     - кредит закрыт.
    Выпишем все платежи:
    (rS +
    S
    n
    ) + (
    (n-1)rS
    n
    +
    S
    n
    ) + (
    (n-2)rS
    n
    +
    S
    n
    ) +... + (
    3rS
    n
    +
    S
    n
    ) + (
    2rS
    n
    +
    S
    n
    ) + (
    rS
    n
    +
    S
    n
    ) = SΣ     - сумма всех выплат в банк, которые сделал Пётр.
    Перегруппируем их: SΣ = (rS +
    (n-1)rS
    n
    +
    (n-2)rS
    n
    + ... +
    3rS
    n
    +
    2rS
    n
    +
    rS
    n
    ) + (
    S
    n
    +
    S
    n
    + ... +
    S
    n
    )    .
    В левой скобочке вынесем
    rS
    n
    , а правая скобочка - содержит n одинаковых элементов (количество периодов и количество платежей):
    SΣ =
    rS
    n
    ×(n + (n-1) + (n-2) + ... + 3 + 2 + 1) + n×
    S
    n
    .
    В левой скобочке - арифметическая прогрессия, её можно подсчитать как сумму крайних членов, делённую на два и умноженную на их количество:
    SΣ =
    rS
    n
    ×(
    n + 1
    2
    ×n) + S    .
    Откуда: SΣ = rS×
    n + 1
    2
    + S =
    0,03
    2
    ×(n+1)S + S = 0,015(n+1)S + S    .
    Можно увидеть, что сумма всех выплат SΣ состоит из суммы кредита S, которую надо вернуть банку, и процентов за пользование кредитом (переплаты) ΔS = 0,015(n+1)S = 70,5% от суммы кредита S.
    Тогда: n+1 =
    ΔS
    0,015S
    =
    70,5%
    0,015×100%
    = 47    .
    То есть кредит был взят на n = 46 месяцев.

    Нашли ошибку? Сообщите нам!
    Не хватает табличных данных? Посмотрите в справочнике!

    Тема: Финансовая математика.