Задачи для самостоятельной подготовки "УчУ"



Задача № 14910

Василий Алибабаевич взял в банке кредит некоторую сумму S руб на срок 29 месяцев. Условия кредитования при этом следующие:

  • проценты по кредиту начисляются каждый месяц,
  • ежемесячная процентная ставка a фиксирована в течение всего периода кредитования,
  • после начисления процентов надо сделать очередной платёж,
  • платежи подбираются таким образом, чтобы сумма основного долга в течение всего срока уменьшалась на одинаковую величину.

    • Какова была ставка кредита a, если Василий Алибабаевич в итоге переплатил (то есть заплатил сверх величины самого кредита) банку 60% от суммы, взятой в кредит?


    Решение и ответ:
    Ответ: 4

    Так как в задаче указано, что сумма основного долга уменьшается равномерно и платежи разные, такой тип кредитования называется дифференцированный.
    Составим схему выплат. Для этого обозначим r =
    a
    100%
    . На сумму кредита S набежали проценты rS, Василий Алибабаевич должен отдать одним платежом и проценты rS и часть основного долга
    S
    29
    :
    Первый месяц: S + rS - rS -
    S
    29
    =
    28S
    29
    .
    Второй месяц:
    28S
    29
    +
    28rS
    29
    -
    28rS
    29
    -
    S
    29
    =
    27S
    29
    .
    ....
    28-й месяц:
    2S
    29
    +
    2rS
    29
    -
    2rS
    29
    -
    S
    29
    =
    S
    29
    .
    29-й месяц:
    S
    29
    +
    rS
    29
    -
    rS
    29
    -
    S
    29
    = 0     - кредит закрыт.
    Выпишем все платежи:
    (rS +
    S
    29
    ) + (
    28rS
    29
    +
    S
    29
    ) + ... + (
    2rS
    29
    +
    S
    29
    ) + (
    rS
    29
    +
    S
    29
    ) = SΣ     - сумма всех выплат в банк, которые сделал Василий Алибабаевич.
    Перегруппируем их: SΣ = (rS +
    28rS
    29
    + ... +
    2rS
    29
    +
    rS
    29
    ) + (
    S
    29
    +
    S
    29
    + ... +
    S
    29
    +
    S
    29
    )    .
    В левой скобочке вынесем
    rS
    29
    , а правая скобочка - содержит 29 одинаковых элементов:
    SΣ =
    rS
    29
    ×(29 + 28 + ... + 2 + 1) + 29×
    S
    29
    .
    В левой скобочке - арифметическая прогрессия, её можно подсчитать как сумму крайних членов, делённую на два и умноженную на их количество:
    SΣ =
    rS
    29
    ×(
    29 + 1
    2
    ×29) + S    .
    Откуда: SΣ = rS×
    29 + 1
    2
    + S = 15rS + S    .
    Можно увидеть, что сумма всех выплат SΣ состоит из суммы кредита S, которую надо вернуть банку, и процентов за пользование кредитом ΔS = 15rS = 60% от суммы кредита S.
    Преобразуем: r =
    ΔS
    15S
    =
    60%
    15×100%
    = 0,04    ,
    Теперь можно найти ответ: a = r×100 = 0,04×100 = 4%.

    Нашли ошибку? Сообщите нам!
    Не хватает табличных данных? Посмотрите в справочнике!

    Тема: Финансовая математика.