Построим (серым цветом) треугольник ABC в вершинах A и B которого соответственно расположим заряды q₁ и q₂. Тогда точка, напряжённость электрического поля в которой мы ищем, будет расположена в точке C. Согласно условию задачи, сторона AB = 13 дм, сторона AC = 10 дм, а сторона BC = 5 дм.
Используем формулу напряжённости поля E на расстоянии R от заряда q: E =

kq

R2

.
Применим её к зарядам q₁ и q₂ (обязательно переведём при этом все величины в систему СИ):
E1 =

k|q1|

AC2

=

9×109×|-108×10-9|

12

≈ 972

В

м

- напряжённость поля в точке C, создаваемая зарядом q₁,
E2 =

kq2

BC2

=

9×109×37×10-9

0,52

≈ 1332

В

м

- напряжённость поля в точке C, создаваемая зарядом q₂.
Если построить (синим цветом) векторы напряжённости на этом треугольнике (вектор напряжённости электрического поля, порождаемый зарядом направлен в сторону заряда, если сам заряд положительный; от заряда - если заряд отрицательный), то можно увидеть, что они расположены друг к другу под углом E₁CE₂. Таким образом, чтобы подсчитать их сумму, необходимо по правилу параллелограмма достроить (зелёным цветом) вектора напряжённости E₁ и E₂ до параллелограмма CE₁DE₂, при этом его диагональ (вектор) CD (красного цвета) будет являться их векторной суммой E_Σ, то есть длину этого вектора (отрезка) CD и надо найти в задаче.
По свойствам параллелограмма, противоположные стороны равны, поэтому CE₁ = E₂D ≈ 972, а CE₂ = E₁D ≈ 1332. Тогда диагональ CD можно найти как сторону треугольника CDE₁.
Используем для этого теорему косинусов: CD2 = CE12 + E1D2 - 2×CE1×E1D×cos(∠CE1D).
По рисунку видим, что ∠CE1D является накрест лежащим с ∠AСB, то есть ∠CE1D = ∠AСB.
Применим теорему косинусов для треугольника ABC:
AB2 = BC2 + AC2 - 2×AC×BC×cos(∠ACB), откуда:
cos(∠ACB) =

BC2 + AC2 - AB2

2×AC×BC

=

0,52 + 12 - 1,32

2×1×0,5

≈ -0,44.
Тогда, cos(∠ACB) = cos(∠CE1D) = -0,44.
Подставим это значение в формулу для стороны CD: CD2 = 9722 + 13322 - 2×972×1332×(-0,44) ≈ 3857296.
Откуда, наконец, получаем ответ: E_Σ = CD ≈ 1964.