Для того, чтобы решить это уравнение необходимо представить прямоугольный треугольник ABC с прямым углом B, катеты которого AB = 19, BC = 180. Используя Теорему Пифагора AC² = AB² + BC² можно рассчитать гипотенузу: AC² = 19² + 180² = 32761 = 181², откуда гипотенуза AC = 181.

Первое решение:
Пусть в этом треугольнике ABC угол A равен α, тогда можем вычислить cos α =

19

181

, sin α =

180

181

. Поделим всё уравнение на 181, получим:

19

181

cos x +

180

181

sin x =

1

2

.
Заменим полученные значения:
cos α cos x + sin α sin x =

1

2

,
далее собираем по формуле:
cos(α - x) =

1

2

,
откуда по единичной окружности можно определить корни:
α - x1 =

π

3

+ 2πn, n∈Z,
α - x2 =

5π

3

+ 2πn, n∈Z.
После этого:
-x1 = -α +

π

3

+ 2πn, n∈Z,
-x2 = -α +

5π

3

+ 2πn, n∈Z.
Умножим корни на -1, чтобы избавиться от -x:
x1 = α -

π

3

+ 2πk, k∈Z,
x2 = α -

5π

3

+ 2πk, k∈Z (при этом заменим n на k, чтобы корни выглядели красивее).
Так как cos α =

19

181

, sin α =

180

181

, то можно записать точные значения корней так:
x1 = arcsin(

180

181

) -

π

3

+ 2πk, k∈Z,
x2 = arcsin(

180

181

) -

5π

3

+ 2πk, k∈Z
или
x1 = arccos(

19

181

) -

π

3

+ 2πk, k∈Z,
x2 = arccos(

19

181

) -

5π

3

+ 2πk, k∈Z


Второе решение:
Пусть в этом треугольнике ABC угол C равен β, тогда можем вычислить cos β =

180

181

, sin β =

19

181

. Поделим всё уравнение на 181, получим:

19

181

cos x +

180

181

sin x =

1

2

.
Заменим полученные значения:
sin β cos x + cos β sin x =

1

2

,
далее собираем по формуле:
sin(β + x) =

1

2

,
откуда по единичной окружности можно определить корни:
β + x1 =

π

6

+ 2πn, n∈Z,
β + x2 =

5π

6

+ 2πn, n∈Z.
После этого:
x1 = -β +

π

6

+ 2πn, n∈Z,
x2 = -β +

5π

6

+ 2πn, n∈Z.
Так как cos β =

180

181

, sin β =

19

181

, то можно записать точные значения корней так:
x1 = -arcsin(

19

181

) +

π

6

+ 2πn, n∈Z,
x2 = -arcsin(

19

181

) +

5π

6

+ 2πn, n∈Z
или
x1 = -arccos(

180

181

) +

π

6

+ 2πn, n∈Z,
x2 = -arccos(

180

181

) +

5π

6

+ 2πn, n∈Z


P.S. Может показаться, что найденные корни для первого и второго варианта решений совсем не одинаковые, потому что выражения для их записи не равны. Однако, это не так. Если вычислить конкретные значения, например arccos(

19

181

) ≈ 1,466 (заметьте, углы считаются в радианах, а не в градусах) и подставить вместо π ≈ 3,14, то можно увидеть, что получатся следующие выражения для корней:
x1 ≈ 1,466 -

3,14

3

+ 2×3,14×k, k∈Z,
x2 ≈ 1,466 -

5×3,14

3

+ 2×3,14×k, k∈Z
для первого варианта решения и
x1 ≈ -0,1052 +

3,14

6

+ 2×3,14×n, n∈Z,
x2 ≈ -0,1052 +

5×3,14

6

+ 2×3,14×n, n∈Z
для второго варианта решения, после чего, упростив, можно получить:
x1 ≈ 0,419 + 6,28×k, k∈Z,
x2 ≈ -3,77 + 6,28×k, k∈Z
для первого варианта и:
x1 ≈ 0,418 + 6,28×n, n∈Z,
x2 ≈ 2,51 + 6,28×n, n∈Z
для второго варианта, откуда видно, что первые части этих решений идентичны, а вторые отличаются на период, равный 2π, то есть на 6,28.