Для того, чтобы решить это уравнение необходимо представить прямоугольный треугольник ABC с прямым углом B, катеты которого AB = 3, BC = 4. Используя Теорему Пифагора AC² = AB² + BC² можно рассчитать гипотенузу: AC² = 3² + 4² = 25 = 5², откуда гипотенуза AC = 5.

Первое решение:
Пусть в этом треугольнике ABC угол A равен α, тогда можем вычислить cos α =

3

5

, sin α =

4

5

. Поделим всё уравнение на 5, получим:

3

5

cos x -

4

5

sin x =

1

2

.
Заменим полученные значения:
cos α cos x - sin α sin x =

1

2

,
далее собираем по формуле:
cos(α + x) =

1

2

,
откуда по единичной окружности можно определить корни:
α + x1 =

π

3

+ 2πn, n∈Z,
α + x2 =

5π

3

+ 2πn, n∈Z.
После этого:
x1 = -α +

π

3

+ 2πn, n∈Z,
x2 = -α +

5π

3

+ 2πn, n∈Z.
Так как cos α =

3

5

, sin α =

4

5

, то можно записать точные значения корней так:
x1 = -arcsin(

4

5

) +

π

3

+ 2πn, n∈Z,
x2 = -arcsin(

4

5

) +

5π

3

+ 2πn, n∈Z
или
x1 = -arccos(

3

5

) +

π

3

+ 2πn, n∈Z,
x2 = -arccos(

3

5

) +

5π

3

+ 2πn, n∈Z


Второе решение:
Пусть в этом треугольнике ABC угол C равен β, тогда можем вычислить cos β =

4

5

, sin β =

3

5

. Поделим всё уравнение на 5, получим:

3

5

cos x -

4

5

sin x =

1

2

.
Заменим полученные значения:
sin β cos x - cos β sin x =

1

2

,
далее собираем по формуле:
sin(β - x) =

1

2

,
откуда по единичной окружности можно определить корни:
β - x1 =

π

6

+ 2πn, n∈Z,
β - x2 =

5π

6

+ 2πn, n∈Z.
После этого:
-x1 = -β +

π

6

+ 2πn, n∈Z,
-x2 = -β +

5π

6

+ 2πn, n∈Z.
Умножим корни на -1, чтобы избавиться от -x:
x1 = β -

π

6

+ 2πk, k∈Z,
x2 = β -

5π

6

+ 2πk, k∈Z (при этом заменим n на k, чтобы корни выглядели красивее).
Так как cos β =

4

5

, sin β =

3

5

, то можно записать точные значения корней так:
x1 = arcsin(

3

5

) -

π

6

+ 2πk, k∈Z,
x2 = arcsin(

3

5

) -

5π

6

+ 2πk, k∈Z
или
x1 = arccos(

4

5

) -

π

6

+ 2πk, k∈Z,
x2 = arccos(

4

5

) -

5π

6

+ 2πk, k∈Z


P.S. Может показаться, что найденные корни для первого и второго варианта решений совсем не одинаковые, потому что выражения для их записи не равны. Однако, это не так. Если вычислить конкретные значения, например arccos(

3

5

) ≈ 0,927 (заметьте, углы считаются в радианах, а не в градусах) и подставить вместо π ≈ 3,14, то можно увидеть, что получатся следующие выражения для корней:
x1 ≈ -0,927 +

3,14

3

+ 2×3,14×n, n∈Z,
x2 ≈ -0,927 +

5×3,14

3

+ 2×3,14×n, n∈Z
для первого варианта решения и
x1 ≈ 0,644 -

3,14

6

+ 2×3,14×k, k∈Z,
x2 ≈ 0,644 -

5×3,14

6

+ 2×3,14×k, k∈Z
для второго варианта решения, после чего, упростив, можно получить:
x1 ≈ 0,1197 + 6,28×n, n∈Z,
x2 ≈ 4,31 + 6,28×n, n∈Z
для первого варианта и:
x1 ≈ 0,1207 + 6,28×k, k∈Z,
x2 ≈ -1,973 + 6,28×k, k∈Z
для второго варианта, откуда видно, что первые части этих решений идентичны, а вторые отличаются на период, равный 2π, то есть на 6,28.