Можно заметить, что левая функция сокращается на x - 3, в результате сокращения получается: y =

x3 - 4x2 - 25x + 100

x - 4

.
При этом надо запомнить, что значение x = 3 является недопустимым, потому что в исходном выражении для левой функции это бы приводило к делению на ноль. То есть необходимо дополнить данную функцию условием, что x ≠ 3.
Теперь можно разделить столбиком в полученной левой функции кубический многочлен x3 - 4x2 - 25x + 100 на x - 4.
В результате деления получается: y = x2 - 25.
При этом, так же, x ≠ 4, чтобы в оригинальной функции не было деления на ноль.
Две функции имеют общее решение, когда значения переменных x и y у них одинаковые. Таким образом их можно приравнять:
x2 - 25 = kx - 26.
Преобразуем: x2 - 25 - kx + 26 = 0,
затем x2 +x×( - k) + 1 = 0.
Это квадратное уравнение, надём дискриминант: D = ( - k)2 - 4×1×1 = k2 - 4.
Если полученное значение дискриминанта будет отрицательным, то не удастся подсчитать корни, это будет означать, что две исходные функции не имеют общего решения.
Если полученное значение дискриминанта будет положительным, то у данного уравнения будет два корня, это будет означать, что две исходные функции имеют два общих для них решения.
Если полученное значение дискриминанта будет равно нулю, то у данного уравнения будет единственное значение x, при котором это уравнение становится верным, а это будет означать, что две исходные функции имеют единственное общее решение, что и требуется найти в этой задаче.
Таким образом: k2 - 4 = 0, откуда можно найти значения k1 = 2 и k2 = -2.
При преобразовании левой функции в квадратичное выражение, мы сделали указание, что x ≠ 4. Если подобрать такое значение k, чтобы один из корней x был равен этому числу, тогда не смотря на то, что у уравнения x2 +x×( - k) + 1 = 0 будет два корня, один из них "выпадающий", то есть не будет является частью решения, а второй корень будет.
Подставим x = 4 в уравнение, получим: 42 + 4×( - k) + 1 = 0.
Откуда k3 = 4,25.
Аналогично, подставим второе "выпадающее" значение x = 3 в уравнение, получим: 32 + 3×( - k) + 1 = 0.
Откуда k4 =

10

3

.
У этих двух функций есть графики: парабола и прямая, с изменяющимся, в зависимости от значения k, углом наклона. При k1 = 2 и k2 = -2 прямые (на рисунке - зелёная и синяя) касаются параболы (в красных точках), а при k3 = 4,25 и k4 =

10

3

(красная и чёрная) прямые пересекают параболу через "выпадающие" точки (обозначены белым) и обычные точки (обозначено голубым), имея тем самым единственную точку пересечения.