Можно заметить, что левая функция сокращается на x + 9, в результате сокращения получается: y =

x3 + 7x2 - 9x - 63

x + 7

.
При этом надо запомнить, что значение x = -9 является недопустимым, потому что в исходном выражении для левой функции это бы приводило к делению на ноль. То есть необходимо дополнить данную функцию условием, что x ≠ -9.
Теперь можно разделить столбиком в полученной левой функции кубический многочлен x3 + 7x2 - 9x - 63 на x + 7.
В результате деления получается: y = x2 - 9.
При этом, так же, x ≠ -7, чтобы в оригинальной функции не было деления на ноль.
Две функции имеют общее решение, когда значения переменных x и y у них одинаковые. Таким образом их можно приравнять:
x2 - 9 = kx - 10.
Преобразуем: x2 - 9 - kx + 10 = 0,
затем x2 +x×( - k) + 1 = 0.
Это квадратное уравнение, надём дискриминант: D = ( - k)2 - 4×1×1 = k2 - 4.
Если полученное значение дискриминанта будет отрицательным, то не удастся подсчитать корни, это будет означать, что две исходные функции не имеют общего решения.
Если полученное значение дискриминанта будет положительным, то у данного уравнения будет два корня, это будет означать, что две исходные функции имеют два общих для них решения.
Если полученное значение дискриминанта будет равно нулю, то у данного уравнения будет единственное значение x, при котором это уравнение становится верным, а это будет означать, что две исходные функции имеют единственное общее решение, что и требуется найти в этой задаче.
Таким образом: k2 - 4 = 0, откуда можно найти значения k1 = 2 и k2 = -2.
При преобразовании левой функции в квадратичное выражение, мы сделали указание, что x ≠ -7. Если подобрать такое значение k, чтобы один из корней x был равен этому числу, тогда не смотря на то, что у уравнения x2 +x×( - k) + 1 = 0 будет два корня, один из них "выпадающий", то есть не будет является частью решения, а второй корень будет.
Подставим x = -7 в уравнение, получим: (-7)2 - 7×( - k) + 1 = 0.
Откуда k3 = -

50

7

.
Аналогично, подставим второе "выпадающее" значение x = -9 в уравнение, получим: (-9)2 - 9×( - k) + 1 = 0.
Откуда k4 = -

82

9

.
У этих двух функций есть графики: парабола и прямая, с изменяющимся, в зависимости от значения k, углом наклона. При k1 = 2 и k2 = -2 прямые (на рисунке - зелёная и синяя) касаются параболы (в красных точках), а при k3 = -

50

7

и k4 = -

82

9

(красная и чёрная) прямые пересекают параболу через "выпадающие" точки (обозначены белым) и обычные точки (обозначено голубым), имея тем самым единственную точку пересечения.