Для того, чтобы решить это уравнение необходимо представить прямоугольный треугольник ABC с прямым углом B, катеты которого AB = 19, BC = 180. Используя Теорему Пифагора AC² = AB² + BC² можно рассчитать гипотенузу: AC² = 19² + 180² = 32761 = 181², откуда гипотенуза AC = 181.
Пусть в этом треугольнике ABC угол A равен α, тогда можем вычислить cos α =

19

181

, sin α =

180

181

. Поделим всё уравнение на 181, получим:

19

181

sin x -

180

181

cos x =

3

2

.
Заменим полученные значения:
cos α sin x - sin α cos x =

3

2

,
далее собираем по формуле:
sin(x - α) =

3

2

,
откуда по единичной окружности можно определить корни:
x1 - α =

π

3

+ 2πn, n∈Z,
x2 - α =

2π

3

+ 2πn, n∈Z.
После этого:
x1 = α +

π

3

+ 2πn, n∈Z,
x2 = α +

2π

3

+ 2πn, n∈Z.
Так как cos α =

19

181

, sin α =

180

181

, то можно записать точные значения корней так:
x1 = arcsin(

180

181

) +

π

3

+ 2πn, n∈Z,
x2 = arcsin(

180

181

) +

2π

3

+ 2πn, n∈Z
или
x1 = arccos(

19

181

) +

π

3

+ 2πn, n∈Z,
x2 = arccos(

19

181

) +

2π

3

+ 2πn, n∈Z