Задачи для самостоятельной подготовки "УчУ"



Задача № 14896

Иосип Миссарионович взял в банке кредит некоторую сумму S руб на срок 18 месяцев. Условия кредитования при этом следующие:

  • проценты по кредиту начисляются каждый месяц,
  • ежемесячная процентная ставка a фиксирована в течение всего периода кредитования,
  • после начисления процентов надо сделать очередной платёж,
  • платежи подбираются таким образом, чтобы сумма основного долга в течение всего срока уменьшалась на одинаковую величину.

    • Какова была ставка кредита a, если Иосип Миссарионович в итоге заплатил банку 185,5% от суммы, взятой в кредит?


    Решение и ответ:
    Ответ: 9

    Так как в задаче указано, что сумма основного долга уменьшается равномерно и платежи разные, такой тип кредитования называется дифференцированный.
    Составим схему выплат. Для этого обозначим r =
    a
    100%
    . На сумму кредита S набежали проценты rS, Иосип Миссарионович должен отдать одним платежом и проценты rS и часть основного долга
    S
    18
    :
    Первый месяц: S + rS - rS -
    S
    18
    =
    17S
    18
    .
    Второй месяц:
    17S
    18
    +
    17rS
    18
    -
    17rS
    18
    -
    S
    18
    =
    16S
    18
    .
    ....
    17-й месяц:
    2S
    18
    +
    2rS
    18
    -
    2rS
    18
    -
    S
    18
    =
    S
    18
    .
    18-й месяц:
    S
    18
    +
    rS
    18
    -
    rS
    18
    -
    S
    18
    = 0     - кредит закрыт.
    Выпишем все платежи:
    (rS +
    S
    18
    ) + (
    17rS
    18
    +
    S
    18
    ) + ... + (
    2rS
    18
    +
    S
    18
    ) + (
    rS
    18
    +
    S
    18
    ) = SΣ     - сумма всех выплат в банк, которые сделал Иосип Миссарионович.
    Перегруппируем их: SΣ = (rS +
    17rS
    18
    + ... +
    2rS
    18
    +
    rS
    18
    ) + (
    S
    18
    +
    S
    18
    + ... +
    S
    18
    +
    S
    18
    )    .
    В левой скобочке вынесем
    rS
    18
    , а правая скобочка - содержит 18 одинаковых элементов:
    SΣ =
    rS
    18
    ×(18 + 17 + ... + 2 + 1) + 18×
    S
    18
    .
    В левой скобочке - арифметическая прогрессия, её можно подсчитать как сумму крайних членов, делённую на два и умноженную на их количество:
    SΣ =
    rS
    18
    ×(
    18 + 1
    2
    ×18) + S    .
    Откуда: SΣ = rS×
    18 + 1
    2
    + S = 9,5rS + S    .
    Преобразуем: SΣ = S(9,5r + 1) = 185,5% от суммы кредита S,
    откуда 9,5r + 1 =
    SΣ
    S
    =
    185,5%
    100%
    = 1,855    ,
    после чего r =
    1,855 - 1
    9,5
    = 0,09    .
    Теперь можно найти ответ: a = r×100 = 0,09×100 = 9%.

    Похожие задачи: 14909.
    Нашли ошибку? Сообщите нам!
    Не хватает табличных данных? Посмотрите в справочнике!

    Тема: Финансовая математика.