Задачи для самостоятельной подготовки "УчУ"



Задача № 14909

Акакий Акакиевич взял в банке кредит некоторую сумму S руб на срок 62 месяца. Условия кредитования при этом следующие:

  • проценты по кредиту начисляются каждый месяц,
  • ежемесячная процентная ставка a фиксирована в течение всего периода кредитования,
  • после начисления процентов надо сделать очередной платёж,
  • платежи подбираются таким образом, чтобы сумма основного долга в течение всего срока уменьшалась на одинаковую величину.

    • Какова была ставка кредита a, если Акакий Акакиевич в итоге заплатил банку 352% от суммы, взятой в кредит?


    Решение и ответ:
    Ответ: 8

    Так как в задаче указано, что сумма основного долга уменьшается равномерно и платежи разные, такой тип кредитования называется дифференцированный.
    Составим схему выплат. Для этого обозначим r =
    a
    100%
    . На сумму кредита S набежали проценты rS, Акакий Акакиевич должен отдать одним платежом и проценты rS и часть основного долга
    S
    62
    :
    Первый месяц: S + rS - rS -
    S
    62
    =
    61S
    62
    .
    Второй месяц:
    61S
    62
    +
    61rS
    62
    -
    61rS
    62
    -
    S
    62
    =
    60S
    62
    .
    ....
    61-й месяц:
    2S
    62
    +
    2rS
    62
    -
    2rS
    62
    -
    S
    62
    =
    S
    62
    .
    62-й месяц:
    S
    62
    +
    rS
    62
    -
    rS
    62
    -
    S
    62
    = 0     - кредит закрыт.
    Выпишем все платежи:
    (rS +
    S
    62
    ) + (
    61rS
    62
    +
    S
    62
    ) + ... + (
    2rS
    62
    +
    S
    62
    ) + (
    rS
    62
    +
    S
    62
    ) = SΣ     - сумма всех выплат в банк, которые сделал Акакий Акакиевич.
    Перегруппируем их: SΣ = (rS +
    61rS
    62
    + ... +
    2rS
    62
    +
    rS
    62
    ) + (
    S
    62
    +
    S
    62
    + ... +
    S
    62
    +
    S
    62
    )    .
    В левой скобочке вынесем
    rS
    62
    , а правая скобочка - содержит 62 одинаковых элементов:
    SΣ =
    rS
    62
    ×(62 + 61 + ... + 2 + 1) + 62×
    S
    62
    .
    В левой скобочке - арифметическая прогрессия, её можно подсчитать как сумму крайних членов, делённую на два и умноженную на их количество:
    SΣ =
    rS
    62
    ×(
    62 + 1
    2
    ×62) + S    .
    Откуда: SΣ = rS×
    62 + 1
    2
    + S = 31,5rS + S    .
    Преобразуем: SΣ = S(31,5r + 1) = 352% от суммы кредита S,
    откуда 31,5r + 1 =
    SΣ
    S
    =
    352%
    100%
    = 3,52    ,
    после чего r =
    3,52 - 1
    31,5
    = 0,08    .
    Теперь можно найти ответ: a = r×100 = 0,08×100 = 8%.

    Похожие задачи: 14896.
    Нашли ошибку? Сообщите нам!
    Не хватает табличных данных? Посмотрите в справочнике!

    Тема: Финансовая математика.