Задачи для самостоятельной подготовки "УчУ"



Задача № 14897

Николай взял в кредит в банке 700000 руб на срок 44 месяца. Условия кредитования при этом следующие:

  • проценты по кредиту начисляются каждый месяц,
  • ежемесячная процентная ставка фиксирована и равняется a = 2%,
  • после начисления процентов надо сделать очередной платёж,
  • платежи подбираются таким образом, чтобы сумма основного долга в течение всего срока уменьшалась на одинаковую величину.

    • Сколько заплатит в итоге за кредит Николай? Какова будет переплата за кредит?


    Решение и ответ:
    Ответы: 315000;1015000

    Так как в задаче указано, что сумма основного долга уменьшается равномерно и платежи разные, такой тип кредитования называется дифференцированный.
    Составим схему выплат. Для этого обозначим r =
    a
    100%
    =
    2
    100
    = 0,02    . На сумму кредита S набежали проценты rS, Николай должен отдать одним платежом и проценты rS и часть основного долга
    S
    44
    :
    Первый месяц: S + rS - rS -
    S
    44
    =
    43S
    44
    .
    Второй месяц:
    43S
    44
    +
    43rS
    44
    -
    43rS
    44
    -
    S
    44
    =
    42S
    44
    .
    ....
    43-й месяц:
    2S
    44
    +
    2rS
    44
    -
    2rS
    44
    -
    S
    44
    =
    S
    44
    .
    44-й месяц:
    S
    44
    +
    rS
    44
    -
    rS
    44
    -
    S
    44
    = 0     - кредит закрыт.
    Выпишем все платежи:
    (rS +
    S
    44
    ) + (
    43rS
    44
    +
    S
    44
    ) + ... + (
    2rS
    44
    +
    S
    44
    ) + (
    rS
    44
    +
    S
    44
    ) = SΣ     - сумма всех выплат в банк, которые сделал Николай.
    Перегруппируем их: SΣ = (rS +
    43rS
    44
    + ... +
    2rS
    44
    +
    rS
    44
    ) + (
    S
    44
    +
    S
    44
    + ... +
    S
    44
    +
    S
    44
    )    .
    В левой скобочке вынесем
    rS
    44
    , а правая скобочка - содержит 44 одинаковых элементов:
    SΣ =
    rS
    44
    ×(44 + 43 + ... + 2 + 1) + 44×
    S
    44
    .
    В левой скобочке - арифметическая прогрессия, её можно подсчитать как сумму крайних членов, делённую на два и умноженную на их количество:
    SΣ =
    rS
    44
    ×(
    44 + 1
    2
    ×44) + S    .
    Откуда: SΣ = rS×
    44 + 1
    2
    + S = 22,5rS + S    .
    Можно увидеть, что сумма всех выплат SΣ состоит из суммы кредита S, которую надо вернуть банку, и процентов за пользование кредитом ΔS = 22,5rS.
    Таким образом, переплата ΔS = 22,5×0,02×700000 = 315000 руб, а сумма всех выплат SΣ = 315000 + 700000 = 1015000 руб.

    Похожие задачи: 14898.
    Нашли ошибку? Сообщите нам!
    Не хватает табличных данных? Посмотрите в справочнике!

    Тема: Финансовая математика.