По формулам приведения избавимся от сдвига в аргументе угла: sin(x+

π

2

) = cos(x).
После этого получим: cos(2x) + 6cos(x) + 5 = 0.
Заменим косинус двойного угла: (2cos2(x)-1) + 6cos(x) + 5 = 0 (выбираем переход на cos(x), чтобы уравнение стало однородным).
Раскроем скобки, приведём подобные слагаемые: 2cos2(x) + 6cos(x) + 4 = 0.
Это однородное тригонометрическое уравнение. Заменим в нём cos(x) на t, оно станет таким: 2t2 + 6t + 4 = 0.
Это квадратное уравнение, решим его: t1 = -2, t2 = -1.
Сделаем обратную замену: cos(x) = -2, cos(x) = -1.
Первое уравнение не имеет корней, второе уравнение решаемо, его корень будет: x = π+2πn,n∈Z.