Для того, чтобы решить это уравнение необходимо представить прямоугольный треугольник ABC с прямым углом B, катеты которого AB = 11, BC = 60. Используя Теорему Пифагора AC² = AB² + BC² можно рассчитать гипотенузу: AC² = 11² + 60² = 3721 = 61², откуда гипотенуза AC = 61.
Пусть в этом треугольнике ABC угол A равен α, тогда можем вычислить cos α =

11

61

, sin α =

60

61

. Поделим всё уравнение на 61, получим:

11

61

sin x +

60

61

cos x = -

3

2

.
Заменим полученные значения:
cos α sin x + sin α cos x = -

3

2

,
далее собираем по формуле:
sin(x + α) = -

3

2

,
откуда по единичной окружности можно определить корни:
x1 + α =

4π

3

+ 2πn, n∈Z,
x2 + α =

5π

3

+ 2πn, n∈Z.
После этого:
x1 = -α +

4π

3

+ 2πn, n∈Z,
x2 = -α +

5π

3

+ 2πn, n∈Z.
Так как cos α =

11

61

, sin α =

60

61

, то можно записать точные значения корней так:
x1 = -arcsin(

60

61

) +

4π

3

+ 2πn, n∈Z,
x2 = -arcsin(

60

61

) +

5π

3

+ 2πn, n∈Z
или
x1 = -arccos(

11

61

) +

4π

3

+ 2πn, n∈Z,
x2 = -arccos(

11

61

) +

5π

3

+ 2πn, n∈Z