Для того, чтобы решить это уравнение необходимо представить прямоугольный треугольник ABC с прямым углом B, катеты которого AB = 39, BC = 80. Используя Теорему Пифагора AC² = AB² + BC² можно рассчитать гипотенузу: AC² = 39² + 80² = 7921 = 89², откуда гипотенуза AC = 89.
Пусть в этом треугольнике ABC угол A равен α, тогда можем вычислить cos α =

39

89

, sin α =

80

89

. Поделим всё уравнение на 89, получим:

39

89

sin x +

80

89

cos x = -

3

2

.
Заменим полученные значения:
cos α sin x + sin α cos x = -

3

2

,
далее собираем по формуле:
sin(x + α) = -

3

2

,
откуда по единичной окружности можно определить корни:
x1 + α =

4π

3

+ 2πn, n∈Z,
x2 + α =

5π

3

+ 2πn, n∈Z.
После этого:
x1 = -α +

4π

3

+ 2πn, n∈Z,
x2 = -α +

5π

3

+ 2πn, n∈Z.
Так как cos α =

39

89

, sin α =

80

89

, то можно записать точные значения корней так:
x1 = -arcsin(

80

89

) +

4π

3

+ 2πn, n∈Z,
x2 = -arcsin(

80

89

) +

5π

3

+ 2πn, n∈Z
или
x1 = -arccos(

39

89

) +

4π

3

+ 2πn, n∈Z,
x2 = -arccos(

39

89

) +

5π

3

+ 2πn, n∈Z