При решении неравенств можно использовать следующее свойство: разность модулей |a| - |b| по знаку полностью эквивалентна выражению (a-b)×(a+b).
Применим это правило к данному выражению, получим:

((x2 + 8x + 18) - (5x + 18))×((x2 + 8x + 18) + (5x + 18))

x + 4

> 0,
упростим его:

(x2 + 3x)×(x2 + 13x + 36)

x + 4

> 0.
Разложим на множители по Теореме Виета числитель дроби:

x×(x + 3)×(x + 4)×(x + 9)

x + 4

> 0.
Можно сократить на x + 4, однако, перед этим, обязательно отметить, что при этом x ≠ -4:
x×(x + 3)×(x + 9) > 0.
Это неравенство решается методом интервалов: тут отмечаем выколотые точки x = -9, x = -3 и x = 0 и определяем знаки интервалов.
Выберем те интервалы, в которые функция больше нуля. Таким образом решение неравенства будет таким: x ∈ (-9;-3) ∪ (0;+∞).
Когда мы сокращали дробь, указывали, что x ≠ -4, таким образом с учётом этого ограничения итоговый ответ будет такой:
x ∈ (-9;-4) ∪ (-4;-3) ∪ (0;+∞).