Для решения неравенства его необходимо сравнивать с нулём. Сделаем так:

1

2x + 4

-

1

2x + 8

+ 1 < 0.
Вынесем множители за скобки знаменателей:

1

2(x + 2)

-

1

2(x + 4)

+ 1 < 0.
Приведём к общему знаменателю:

1(x + 4) - 1(x + 2) + 1×2(x + 4)(x + 2)

2(x + 4)(x + 2)

< 0.
Раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые:

2x2 + 12x + 18

(x + 4)(x + 2)

< 0.
Поделим неравенство на 2 (так как оно положительное, знак не меняем).

x2 + 6x + 9

(x + 4)(x + 2)

< 0.
В числителе дроби видна формула сокращённого умножения:

(x + 3)2

(x + 4)(x + 2)

< 0.
Такого вида неравенства решаются методом интервалов. Для этого заполним числовую ось, отметив на ней области знакопостоянства, отделяемые друг от друга корнями: x1 = -3, x2 = -2, x3 = -4.
Все точки будут выколотые, потому что неравенство - строгое.
Определим знаки интервалов, получим ответ (точка x = -3 разрывает диапазон, в ней значение выражения становится равным нулю, а должно быть строго отрицательным):
x∈(-4;-3)∪(-3;-2).