Попробуем разложить на множители знаменатели левой и правой дробей, получим:

2

(x + 2)×(x - 2)

+

5

(x - 2)×(x + 3)

-

1

(x + 2)×(x + 3)

>= -2.
Теперь видно, что все дроби имеют похожие множители в знаменателях - приведём к общему знаменателю только их, без свободного члена - если сразу всё привести к общему знаменателю, получится многочлен третьей степени, постараемся этого избежать:

2(x + 3) + 5(x + 2) - 1(x - 2)

(x + 2)×(x - 2)×(x + 3)

>= -2.
Откуда:

2x + 6 + 5x + 10 - x + 2

(x + 2)×(x - 2)×(x + 3)

>= -2.
Упростим:

6x + 18

(x + 2)×(x - 2)×(x + 3)

>= -2.
Вынесем за скобки 6:

6(x + 3)

(x + 2)×(x - 2)×(x + 3)

>= -2.
Можно сократить на (x + 3):

6

(x + 2)(x - 2)

>= -2 - запомнив, при этом, что в исходном (несокращённом) примере было деление на (x + 3), которое могло быть равно нулю, поэтому x ≠ -3. Действительно, действия с дробями привели к упрощению, так как теперь при занесении свободного члена будет максимум вторая степень полученного в числителе выражения.
Теперь переносим свободный член - для того, чтобы решить неравенство, его надо сравнивать с нулём:

6

(x + 2)(x - 2)

+ 2 >= 0.
Приводим к общему знаменателю:

6

(x + 2)(x - 2)

+

2(x + 2) (x - 2)

(x + 2)(x - 2)

>= 0.
Теперь с дробями можно выполнить действие:

6 + 2(x + 2) (x - 2)

(x + 2)(x - 2)

>= 0.
Раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые:

2x2 - 2

(x + 2)(x - 2)

>= 0.
Поделим неравенство на 2 (так как оно положительное, меняем неравенство оставляем неизменным).

x2 - 1

(x + 2)(x - 2)

>= 0.
Разложим на множители числитель:

(x + 1)(x - 1)

(x + 2)(x - 2)

>= 0.
Такого вида неравенства решаются методом интервалов. Для этого заполним числовую ось, отметив на ней области знакопостоянства, отделяемые друг от друга корнями: x1 = -1, x2 = 1, x3 = 2, x4 = -2.
Точки x1 = -1 и x2 = 1 будут закрашенные, потому что неравенство - нестрогое, а точки x3 = 2, x4 = -2 - выколотые, потому что они из знаменателя.
Построим числовую ось, определим знаки интервалов:
x∈(-∞;-2)∪[-1;1]∪(2;+∞).
Теперь учтём, что x ≠ -3, тогда получаем ответ:
x∈(-∞;-3)∪(-3;-2)∪[-1;1]∪(2;+∞).