Единственный способ вынести из под корня некоторое выражение - это представить это выражение в виде квадрата какого-то числа. Преобразуем выражение:

81 + 7 - 4×81×7

=

81 + 7 - 4 × 81 × 7

=

81 - 2×9× 7 + 7

=

92 - 2×9× 7 + ( 7 )2

.
Можно увидеть, что под корнем получилась формула сокращённого умножения - квадрат разности. Таким образом:

(9 - 7 )2

= 9 -

7

, что и является ответом.
Примечание: То же самое выражение можно представить в виде:

( 7 )2 - 2× 7 ×9 + 92

=

( 7 - 9)2

, откуда сделать вывод, что результат будет

7

- 9. Однако это не так. По определению арифметического квадратного корня, его значение должно быть неотрицательным, при этом число

7

- 9 является отрицательным. Самым верным раскрытием корня в этом случае было бы такое:

( 7 - 9)2

= |

7

- 9|, откуда, при верном раскрытии модуля, получается: -(

7

- 9) = -

7

+ 9 = 9 -

7

.