Для того, чтобы решить это уравнение необходимо представить прямоугольный треугольник ABC с прямым углом B, катеты которого AB = 11, BC = 60. Используя Теорему Пифагора AC² = AB² + BC² можно рассчитать гипотенузу: AC² = 11² + 60² = 3721 = 61², откуда гипотенуза AC = 61.

Первое решение:
Пусть в этом треугольнике ABC угол A равен α, тогда можем вычислить cos α =

11

61

, sin α =

60

61

. Поделим всё уравнение на 61, получим:

11

61

cos x +

60

61

sin x = -

1

2

.
Заменим полученные значения:
cos α cos x + sin α sin x = -

1

2

,
далее собираем по формуле:
cos(α - x) = -

1

2

,
откуда по единичной окружности можно определить корни:
α - x1 =

2π

3

+ 2πn, n∈Z,
α - x2 =

4π

3

+ 2πn, n∈Z.
После этого:
-x1 = -α +

2π

3

+ 2πn, n∈Z,
-x2 = -α +

4π

3

+ 2πn, n∈Z.
Умножим корни на -1, чтобы избавиться от -x:
x1 = α -

2π

3

+ 2πk, k∈Z,
x2 = α -

4π

3

+ 2πk, k∈Z (при этом заменим n на k, чтобы корни выглядели красивее).
Так как cos α =

11

61

, sin α =

60

61

, то можно записать точные значения корней так:
x1 = arcsin(

60

61

) -

2π

3

+ 2πk, k∈Z,
x2 = arcsin(

60

61

) -

4π

3

+ 2πk, k∈Z
или
x1 = arccos(

11

61

) -

2π

3

+ 2πk, k∈Z,
x2 = arccos(

11

61

) -

4π

3

+ 2πk, k∈Z


Второе решение:
Пусть в этом треугольнике ABC угол C равен β, тогда можем вычислить cos β =

60

61

, sin β =

11

61

. Поделим всё уравнение на 61, получим:

11

61

cos x +

60

61

sin x = -

1

2

.
Заменим полученные значения:
sin β cos x + cos β sin x = -

1

2

,
далее собираем по формуле:
sin(β + x) = -

1

2

,
откуда по единичной окружности можно определить корни:
β + x1 =

7π

6

+ 2πn, n∈Z,
β + x2 =

11π

6

+ 2πn, n∈Z.
После этого:
x1 = -β +

7π

6

+ 2πn, n∈Z,
x2 = -β +

11π

6

+ 2πn, n∈Z.
Так как cos β =

60

61

, sin β =

11

61

, то можно записать точные значения корней так:
x1 = -arcsin(

11

61

) +

7π

6

+ 2πn, n∈Z,
x2 = -arcsin(

11

61

) +

11π

6

+ 2πn, n∈Z
или
x1 = -arccos(

60

61

) +

7π

6

+ 2πn, n∈Z,
x2 = -arccos(

60

61

) +

11π

6

+ 2πn, n∈Z


P.S. Может показаться, что найденные корни для первого и второго варианта решений совсем не одинаковые, потому что выражения для их записи не равны. Однако, это не так. Если вычислить конкретные значения, например arccos(

11

61

) ≈ 1,389 (заметьте, углы считаются в радианах, а не в градусах) и подставить вместо π ≈ 3,14, то можно увидеть, что получатся следующие выражения для корней:
x1 ≈ 1,389 -

2×3,14

3

+ 2×3,14×k, k∈Z,
x2 ≈ 1,389 -

4×3,14

3

+ 2×3,14×k, k∈Z
для первого варианта решения и
x1 ≈ -0,1813 +

7×3,14

6

+ 2×3,14×n, n∈Z,
x2 ≈ -0,1813 +

11×3,14

6

+ 2×3,14×n, n∈Z
для второго варианта решения, после чего, упростив, можно получить:
x1 ≈ -0,704 + 6,28×k, k∈Z,
x2 ≈ -2,8 + 6,28×k, k∈Z
для первого варианта и:
x1 ≈ 3,48 + 6,28×n, n∈Z,
x2 ≈ 5,58 + 6,28×n, n∈Z
для второго варианта, откуда видно, что решения отличаются друг от друга ровно на период, равный 2π, то есть на 6,28.