Для решения неравенства его необходимо сравнивать с нулём. Сделаем так:

6

x + 1

-

6

x - 7

- 4 < 0.
Поделим на -2 (так как оно отрицательное, меняем знак на противоположный):
-

3

x + 1

+

3

x - 7

+ 2 > 0.
Приведём к общему знаменателю:

-3(x - 7) + 3(x + 1) + 2×1(x - 7)(x + 1)

(x - 7)(x + 1)

> 0.
Раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые:

2x2 - 12x + 10

(x - 7)(x + 1)

> 0.
Поделим неравенство на 2 (так как оно положительное, знак не меняем).

x2 - 6x + 5

(x - 7)(x + 1)

> 0.
Разложим на множители числитель:

(x - 5)(x - 1)

(x - 7)(x + 1)

> 0.
Такого вида неравенства решаются методом интервалов. Для этого заполним числовую ось, отметив на ней области знакопостоянства, отделяемые друг от друга корнями: x1 = 5, x2 = 1, x3 = -1, x4 = 7.
Все точки будут выколотые, потому что неравенство - строгое.
Определим знаки интервалов, получим ответ :
x∈(-∞;-1)∪(1;5)∪(7;+∞).