Для того, чтобы решить это уравнение необходимо представить прямоугольный треугольник ABC с прямым углом B, катеты которого AB = 3, BC = 4. Используя Теорему Пифагора AC² = AB² + BC² можно рассчитать гипотенузу: AC² = 3² + 4² = 25 = 5², откуда гипотенуза AC = 5.
Пусть в этом треугольнике ABC угол A равен α, тогда можем вычислить cos α =

3

5

, sin α =

4

5

. Поделим всё уравнение на 5, получим:

3

5

sin x -

4

5

cos x =

2

2

.
Заменим полученные значения:
cos α sin x - sin α cos x =

2

2

,
далее собираем по формуле:
sin(x - α) =

2

2

,
откуда по единичной окружности можно определить корни:
x1 - α =

π

4

+ 2πn, n∈Z,
x2 - α =

3π

4

+ 2πn, n∈Z.
После этого:
x1 = α +

π

4

+ 2πn, n∈Z,
x2 = α +

3π

4

+ 2πn, n∈Z.
Так как cos α =

3

5

, sin α =

4

5

, то можно записать точные значения корней так:
x1 = arcsin(

4

5

) +

π

4

+ 2πn, n∈Z,
x2 = arcsin(

4

5

) +

3π

4

+ 2πn, n∈Z
или
x1 = arccos(

3

5

) +

π

4

+ 2πn, n∈Z,
x2 = arccos(

3

5

) +

3π

4

+ 2πn, n∈Z