Для того, чтобы решить это уравнение необходимо представить прямоугольный треугольник ABC с прямым углом B, катеты которого AB = 9, BC = 40. Используя Теорему Пифагора AC² = AB² + BC² можно рассчитать гипотенузу: AC² = 9² + 40² = 1681 = 41², откуда гипотенуза AC = 41.
Пусть в этом треугольнике ABC угол A равен α, тогда можем вычислить cos α =

9

41

, sin α =

40

41

. Поделим всё уравнение на 41, получим:

9

41

sin x -

40

41

cos x =

2

2

.
Заменим полученные значения:
cos α sin x - sin α cos x =

2

2

,
далее собираем по формуле:
sin(x - α) =

2

2

,
откуда по единичной окружности можно определить корни:
x1 - α =

π

4

+ 2πn, n∈Z,
x2 - α =

3π

4

+ 2πn, n∈Z.
После этого:
x1 = α +

π

4

+ 2πn, n∈Z,
x2 = α +

3π

4

+ 2πn, n∈Z.
Так как cos α =

9

41

, sin α =

40

41

, то можно записать точные значения корней так:
x1 = arcsin(

40

41

) +

π

4

+ 2πn, n∈Z,
x2 = arcsin(

40

41

) +

3π

4

+ 2πn, n∈Z
или
x1 = arccos(

9

41

) +

π

4

+ 2πn, n∈Z,
x2 = arccos(

9

41

) +

3π

4

+ 2πn, n∈Z