Для того, чтобы решить это уравнение необходимо представить прямоугольный треугольник ABC с прямым углом B, катеты которого AB = 45, BC = 28. Используя Теорему Пифагора AC² = AB² + BC² можно рассчитать гипотенузу: AC² = 45² + 28² = 2809 = 53², откуда гипотенуза AC = 53.

Первое решение:
Пусть в этом треугольнике ABC угол A равен α, тогда можем вычислить cos α =

45

53

, sin α =

28

53

. Поделим всё уравнение на 53, получим:

45

53

cos x +

28

53

sin x =

2

2

.
Заменим полученные значения:
cos α cos x + sin α sin x =

2

2

,
далее собираем по формуле:
cos(α - x) =

2

2

,
откуда по единичной окружности можно определить корни:
α - x1 =

π

4

+ 2πn, n∈Z,
α - x2 =

7π

4

+ 2πn, n∈Z.
После этого:
-x1 = -α +

π

4

+ 2πn, n∈Z,
-x2 = -α +

7π

4

+ 2πn, n∈Z.
Умножим корни на -1, чтобы избавиться от -x:
x1 = α -

π

4

+ 2πk, k∈Z,
x2 = α -

7π

4

+ 2πk, k∈Z (при этом заменим n на k, чтобы корни выглядели красивее).
Так как cos α =

45

53

, sin α =

28

53

, то можно записать точные значения корней так:
x1 = arcsin(

28

53

) -

π

4

+ 2πk, k∈Z,
x2 = arcsin(

28

53

) -

7π

4

+ 2πk, k∈Z
или
x1 = arccos(

45

53

) -

π

4

+ 2πk, k∈Z,
x2 = arccos(

45

53

) -

7π

4

+ 2πk, k∈Z


Второе решение:
Пусть в этом треугольнике ABC угол C равен β, тогда можем вычислить cos β =

28

53

, sin β =

45

53

. Поделим всё уравнение на 53, получим:

45

53

cos x +

28

53

sin x =

2

2

.
Заменим полученные значения:
sin β cos x + cos β sin x =

2

2

,
далее собираем по формуле:
sin(β + x) =

2

2

,
откуда по единичной окружности можно определить корни:
β + x1 =

π

4

+ 2πn, n∈Z,
β + x2 =

3π

4

+ 2πn, n∈Z.
После этого:
x1 = -β +

π

4

+ 2πn, n∈Z,
x2 = -β +

3π

4

+ 2πn, n∈Z.
Так как cos β =

28

53

, sin β =

45

53

, то можно записать точные значения корней так:
x1 = -arcsin(

45

53

) +

π

4

+ 2πn, n∈Z,
x2 = -arcsin(

45

53

) +

3π

4

+ 2πn, n∈Z
или
x1 = -arccos(

28

53

) +

π

4

+ 2πn, n∈Z,
x2 = -arccos(

28

53

) +

3π

4

+ 2πn, n∈Z


P.S. Может показаться, что найденные корни для первого и второго варианта решений совсем не одинаковые, потому что выражения для их записи не равны. Однако, это не так. Если вычислить конкретные значения, например arccos(

45

53

) ≈ 0,557 (заметьте, углы считаются в радианах, а не в градусах) и подставить вместо π ≈ 3,14, то можно увидеть, что получатся следующие выражения для корней:
x1 ≈ 0,557 -

3,14

4

+ 2×3,14×k, k∈Z,
x2 ≈ 0,557 -

7×3,14

4

+ 2×3,14×k, k∈Z
для первого варианта решения и
x1 ≈ -1,014 +

3,14

4

+ 2×3,14×n, n∈Z,
x2 ≈ -1,014 +

3×3,14

4

+ 2×3,14×n, n∈Z
для второго варианта решения, после чего, упростив, можно получить:
x1 ≈ -0,228 + 6,28×k, k∈Z,
x2 ≈ -4,94 + 6,28×k, k∈Z
для первого варианта и:
x1 ≈ -0,229 + 6,28×n, n∈Z,
x2 ≈ 1,341 + 6,28×n, n∈Z
для второго варианта, откуда видно, что первые части этих решений идентичны, а вторые отличаются на период, равный 2π, то есть на 6,28.