При решение любого уравнения с модулем его приходиться решать дважды: в случае когда подмодульное выражение (в данном примере это "4x + 23") больше или равно нулю, тогда весь модуль надо раскрывать со знаком "+" и когда оно меньше нуля, тогда весь модуль надо раскрывать со знаком "-".
Рассмотрим первый случай: 4x + 23 ≥ 0, откуда x ≥ -

23

4

. Теперь можно раскрыть модуль: 4x + 23 = 5x + 40. Теперь можно решить это уравнение: 4x - 5x = 40 - 23, откуда: -x = 17 и, значит, x = -17. Можно увидеть, что этот корень не соответствует условию x ≥ -

23

4

, таким образом он не является решением данного уравнения.
Рассмотрим второй случай: 4x + 23 < 0, откуда x < -

23

4

. Теперь можно раскрыть модуль: -(4x + 23) = 5x + 40. Раскроем скобки: -4x - 23 = 5x + 40. Теперь можно решить это уравнение: -4x - 5x = 40 + 23, откуда: -9x = 63 и, значит, x = -7. Можно увидеть, что этот корень соответствует условию x < -

23

4

, таким образом он является решением данного уравнения.
Итак, получился единственный корень: x = -7.