Используем основное тригонометрическое тождество: sin2α + cos2α = 1. В нём известно значение косинуса. Можно подставить его в тождество: sin2α = 1 - cos2α = 1 - (

23

265

)2 = 1 -

529

70225

=

70225

70225

-

529

70225

=

69696

70225

, откуда sin α =

264

265

.
Для нахождения тангенса угла α удобно использовать следующую формулу: tg α =

sin α

cos α

. И синус и косинус нам уже известен, таким образом можем подсчитать: tg α =

264

265

÷

23

265

=

264

23

, что и является ответом.
Эту задачу можно решить иначе. Можно увидеть, что есть сложности при вычислении значения синуса угла: по данному значению косинуса возникают достаточно сложные вычисления: возведения в квадрат, вычитания и затем взятие корня. Для того, чтобы упростить решение можно использовать другой способ: представим треугольник ABC с прямым углом B, в котором ищем синус угла А. Чтобы косинус угла A был равен

23

265

, можно принять стороны этого треугольника равными AC = 265, AB = 23. Тогда, для нахождения синуса угла А необходимо найти неизвестную сторону BC. Применим теорему Пифагора: AC2 = AB2 + BC2, откуда: BC2 = AC2 - AB2 = 2652 - 232. Чтобы не возводить в квадрат, применим формулу сокращённого умножения: BC2 = (265 - 23)×(265 + 23) = 242×288, откуда: BC =

242×288

=

2×121×2×144

=

4×121×144

= 2×11×12 = 264.
Теперь можно найти значение синуса угла A: sin A =

264

265

, что совпадает с значением выше, но вычислено значительно проще.