Используем основное тригонометрическое тождество: sin2α + cos2α = 1. В нём известно значение косинуса. Можно подставить его в тождество: sin2α = 1 - cos2α = 1 - (

65

97

)2 = 1 -

4225

9409

=

9409

9409

-

4225

9409

=

5184

9409

, откуда sin α =

72

97

.
Для нахождения котангенса угла α удобно использовать следующую формулу: сtg α =

cos α

sin α

. И синус и косинус нам уже известен, таким образом можем подсчитать: сtg α =

65

97

÷

72

97

=

65

72

, что и является ответом.
Эту задачу можно решить иначе. Можно увидеть, что есть сложности при вычислении значения синуса угла: по данному значению косинуса возникают достаточно сложные вычисления: возведения в квадрат, вычитания и затем взятие корня. Для того, чтобы упростить решение можно использовать другой способ: представим треугольник ABC с прямым углом B, в котором ищем синус угла А. Чтобы косинус угла A был равен

65

97

, можно принять стороны этого треугольника равными AC = 97, AB = 65. Тогда, для нахождения синуса угла А необходимо найти неизвестную сторону BC. Применим теорему Пифагора: AC2 = AB2 + BC2, откуда: BC2 = AC2 - AB2 = 972 - 652. Чтобы не возводить в квадрат, применим формулу сокращённого умножения: BC2 = (97 - 65)×(97 + 65) = 32×162, откуда: BC =

32×162

=

2×16×2×81

=

4×16×81

= 2×4×9 = 72.
Теперь можно найти значение синуса угла A: sin A =

72

97

, что совпадает с значением выше, но вычислено значительно проще.