Используем основное тригонометрическое тождество: sin2α + cos2α = 1. В нём известно значение косинуса. Можно подставить его в тождество: sin2α = 1 - cos2α = 1 - (

195

197

)2 = 1 -

38025

38809

=

38809

38809

-

38025

38809

=

784

38809

, откуда sin α =

28

197

.
Для нахождения котангенса угла α удобно использовать следующую формулу: сtg α =

cos α

sin α

. И синус и косинус нам уже известен, таким образом можем подсчитать: сtg α =

195

197

÷

28

197

=

195

28

, что и является ответом.
Эту задачу можно решить иначе. Можно увидеть, что есть сложности при вычислении значения синуса угла: по данному значению косинуса возникают достаточно сложные вычисления: возведения в квадрат, вычитания и затем взятие корня. Для того, чтобы упростить решение можно использовать другой способ: представим треугольник ABC с прямым углом B, в котором ищем синус угла А. Чтобы косинус угла A был равен

195

197

, можно принять стороны этого треугольника равными AC = 197, AB = 195. Тогда, для нахождения синуса угла А необходимо найти неизвестную сторону BC. Применим теорему Пифагора: AC2 = AB2 + BC2, откуда: BC2 = AC2 - AB2 = 1972 - 1952. Чтобы не возводить в квадрат, применим формулу сокращённого умножения: BC2 = (197 - 195)×(197 + 195) = 2×392, откуда: BC =

2×392

=

2×1×2×196

=

4×1×196

= 2×1×14 = 28.
Теперь можно найти значение синуса угла A: sin A =

28

197

, что совпадает с значением выше, но вычислено значительно проще.