При решение любого уравнения с модулем его приходиться решать дважды: в случае когда подмодульное выражение (в данном примере это "-4x - 17") больше или равно нулю, тогда весь модуль надо раскрывать со знаком "+" и когда оно меньше нуля, тогда весь модуль надо раскрывать со знаком "-".
Рассмотрим первый случай: -4x - 17 ≥ 0, откуда x ≤ -

17

4

. Теперь можно раскрыть модуль: x² + 9x + 23 = -4x - 17, далее: x² + 9x + 23 + 4x + 17 = 0, после чего: x² + 13x + 40 = 0. Теперь можно решить это квадратное уравнение (например, через дискриминант) и вычислить оба корня этого уравнения: x₁ = -8, x₂ = -5. Можно увидеть, что корень x₁ = -8 соответствует условию x ≤ -

17

4

, таким образом он является решением данного уравнения, при этом корень x₂ = -5 тоже соответствует условию x ≤ -

17

4

, таким образом он тоже является решением данного уравнения.
Рассмотрим второй случай: -4x - 17 < 0, откуда x > -

17

4

. Теперь можно раскрыть модуль: x² + 9x + 23 = -(-4x - 17), далее: x² + 9x + 23 = 4x + 17, после чего: x² + 9x + 23 - 4x - 17 = 0, и, наконец: x² + 5x + 6 = 0. Можно решить это квадратное уравнение: у него два корня: x₃ = -3, x₄ = -2. Можно увидеть, что корень x₃ = -3 соответствует условию x > -

17

4

, таким образом он является решением данного уравнения, при этом корень x₄ = -2 тоже соответствует условию x > -

17

4

, таким образом он тоже является решением данного уравнения.
Итак, получились четыре корня: x₁ = -8, x₂ = -5, x₃ = -3 и x₄ = -2.