Рассмотрим ограничения основания логарифма: x + 2 > 0 и x + 2 ≠ 1.
Тогда x > -2 и x ≠ -1.
Воспользуемся определением логарифма: logab = c, когда ac = b.
Тогда: x3 + 3x2 + 6x + 53 = (x + 2)3 = x3 + 6x2 + 12x + 8.
Приведём в каноническую форму: 3x2 + 6x - 45 = 0.
Поделим всё уравнение на 3, получим: x2 + 2x - 15 = 0.
Это квадратное уравнение, решим его: x1 = -5 и x2 = 3.
Можно увидеть, что x1 = -5 не удовлетворяет ограничениям, поэтому корнем будет являться только x = 3.
P.S. Обычно в любом логарифмическом выражении, прежде чем решать его, надо удостовериться, что оно имеет смысл, то есть не только x + 2 > 0 и x + 2 ≠ 1, но и x3 + 3x2 + 6x + 53 > 0. Но так как x3 + 3x2 + 6x + 53 = (x + 2)3, то это условие уже выполнено, а значит дополнительно его можно не проверять. Более того, решение кубических неравенств зачастую является задачей нерешаемой сложности, поэтому с одной стороны, решён вопрос ограничений, с другой стороны, не пришлось решать сложное неравенство.