Рассмотрим ограничения основания логарифма: 8x - 9 > 0 и 8x - 9 ≠ 1.
Тогда x > 1,125 и x ≠ 1,25.
Воспользуемся определением логарифма: logab = c, когда ac = b.
Тогда: 512x3 - 1729x2 + 1947x - 701 = (8x - 9)3 = 512x3 - 1728x2 + 1944x - 729.
Приведём в каноническую форму: x2 - 3x - 28 = 0.
Это квадратное уравнение, решим его: x1 = 7 и x2 = -4.
Можно увидеть, что x2 = -4 не удовлетворяет ограничениям, поэтому корнем будет являться только x = 7.
P.S. Обычно в любом логарифмическом выражении, прежде чем решать его, надо удостовериться, что оно имеет смысл, то есть не только 8x - 9 > 0 и 8x - 9 ≠ 1, но и 512x3 - 1729x2 + 1947x - 701 > 0. Но так как 512x3 - 1729x2 + 1947x - 701 = (8x - 9)3, то это условие уже выполнено, а значит дополнительно его можно не проверять. Более того, решение кубических неравенств зачастую является задачей нерешаемой сложности, поэтому с одной стороны, решён вопрос ограничений, с другой стороны, не пришлось решать сложное неравенство.