Рассмотрим ограничения основания логарифма: -8x + 9 > 0 и -8x + 9 ≠ 1.
Тогда x < 1,125 и x ≠ 1.
Воспользуемся определением логарифма: logab = c, когда ac = b.
Тогда: -512x3 + 1723x2 - 1989x + 1179 = (-8x + 9)3 = -512x3 + 1728x2 - 1944x + 729.
Приведём в каноническую форму: 5x2 + 45x - 450 = 0.
Поделим всё уравнение на 5, получим: x2 + 9x - 90 = 0.
Это квадратное уравнение, решим его: x1 = -15 и x2 = 6.
Можно увидеть, что x2 = 6 не удовлетворяет ограничениям, поэтому корнем будет являться только x = -15.
P.S. Обычно в любом логарифмическом выражении, прежде чем решать его, надо удостовериться, что оно имеет смысл, то есть не только -8x + 9 > 0 и -8x + 9 ≠ 1, но и -512x3 + 1723x2 - 1989x + 1179 > 0. Но так как -512x3 + 1723x2 - 1989x + 1179 = (-8x + 9)3, то это условие уже выполнено, а значит дополнительно его можно не проверять. Более того, решение кубических неравенств зачастую является задачей нерешаемой сложности, поэтому с одной стороны, решён вопрос ограничений, с другой стороны, не пришлось решать сложное неравенство.