Рассмотрим ограничения основания логарифма: -2x - 3 > 0 и -2x - 3 ≠ 1.
Тогда x < -1,5 и x ≠ -2.
Воспользуемся определением логарифма: logab = c, когда ac = b.
Тогда: -8x3 - 41x2 - 54x + 18 = (-2x - 3)3 = -8x3 - 36x2 - 54x - 27.
Приведём в каноническую форму: 5x2 - 45 = 0.
Поделим всё уравнение на 5, получим: x2 - 9 = 0.
Это квадратное уравнение, решим его: x1 = -3 и x2 = 3.
Можно увидеть, что x2 = 3 не удовлетворяет ограничениям, поэтому корнем будет являться только x = -3.
P.S. Обычно в любом логарифмическом выражении, прежде чем решать его, надо удостовериться, что оно имеет смысл, то есть не только -2x - 3 > 0 и -2x - 3 ≠ 1, но и -8x3 - 41x2 - 54x + 18 > 0. Но так как -8x3 - 41x2 - 54x + 18 = (-2x - 3)3, то это условие уже выполнено, а значит дополнительно его можно не проверять. Более того, решение кубических неравенств зачастую является задачей нерешаемой сложности, поэтому с одной стороны, решён вопрос ограничений, с другой стороны, не пришлось решать сложное неравенство.