Рассмотрим ограничения основания логарифма: -6x - 2 > 0 и -6x - 2 ≠ 1.
Тогда x < -

1

3

и x ≠ -0,5.
Воспользуемся определением логарифма: logab = c, когда ac = b.
Тогда: -216x3 - 217x2 - 58x + 24 = (-6x - 2)3 = -216x3 - 216x2 - 72x - 8.
Приведём в каноническую форму: x2 - 14x - 32 = 0.
Это квадратное уравнение, решим его: x1 = 16 и x2 = -2.
Можно увидеть, что x1 = 16 не удовлетворяет ограничениям, поэтому корнем будет являться только x = -2.
P.S. Обычно в любом логарифмическом выражении, прежде чем решать его, надо удостовериться, что оно имеет смысл, то есть не только -6x - 2 > 0 и -6x - 2 ≠ 1, но и -216x3 - 217x2 - 58x + 24 > 0. Но так как -216x3 - 217x2 - 58x + 24 = (-6x - 2)3, то это условие уже выполнено, а значит дополнительно его можно не проверять. Более того, решение кубических неравенств зачастую является задачей нерешаемой сложности, поэтому с одной стороны, решён вопрос ограничений, с другой стороны, не пришлось решать сложное неравенство.