Рассмотрим ограничения основания логарифма: 7x - 8 > 0 и 7x - 8 ≠ 1.
Тогда x >

8

7

и x ≠

9

7

.
Воспользуемся определением логарифма: logab = c, когда ac = b.
Тогда: 52x2 - 106x + 19 = (7x - 8)2.
Используем формулу сокращённого умножения: 52x2 - 106x + 19 = 49x2 - 112x + 64.
Приведём в каноническую форму: 3x2 + 6x - 45 = 0.
Поделим всё уравнение на 3, получим: x2 + 2x - 15 = 0.
Это квадратное уравнение, решим его: x1 = 3 и x2 = -5.
Можно увидеть, что x2 = -5 не удовлетворяет ограничениям, поэтому корнем будет являться только x = 3.
P.S. Обычно в любом логарифмическом выражении, прежде чем решать его, надо удостовериться, что оно имеет смысл, то есть не только 7x - 8 > 0 и 7x - 8 ≠ 1, но и 52x2 - 106x + 19 > 0. Но так как 52x2 - 106x + 19 = (7x - 8)2, то это условие уже выполнено, а значит дополнительно его можно не проверять.