Рассмотрим ограничение правого логарифма: x + 5 > 0.
Тогда x > -5.
Используя свойство, что alogbc = logbca, преобразуем: log9(x3 + 7x2 - 93x - 307) = log9(x + 5)3.
В пределах ограничений два логарифма с равными основаниями равны, если равны их аргументы.
Тогда: x3 + 7x2 - 93x - 307 = (x + 5)3 = x3 + 15x2 + 75x + 125.
Приведём в каноническую форму: 8x2 + 168x + 432 = 0.
Поделим всё уравнение на 8, получим: x2 + 21x + 54 = 0.
Это квадратное уравнение, решим его: x1 = -18 и x2 = -3.
Можно увидеть, что x1 = -18 не удовлетворяет ограничению, поэтому корнем будет являться только x = -3.
P.S. Обычно в любом логарифмическом выражении, прежде чем решать его, надо удостовериться, что оно имеет смысл, то есть не только x + 5 > 0, но и x3 + 7x2 - 93x - 307 > 0. Но так как x3 + 7x2 - 93x - 307 = (x + 5)3, то это условие уже выполнено, а значит дополнительно его можно не проверять. Более того, решение кубических неравенств зачастую является задачей нерешаемой сложности, поэтому с одной стороны, решён вопрос ограничений, с другой стороны, не пришлось решать сложное неравенство.